●吴旻玲 (嘉兴市第一中学 浙江嘉兴 314050)

在近几年的数学高考试题中，经常遇到一些题目，虽然可以利用中学的数学知识解决，但是在高等数学中往往能找出相关的“影子”，也即所谓的“高观点”试题.这样的试题或以高等数学知识为背景，或体现高等数学中常用的思想方法.这类试题常受到命题者的青睐，成为高考中一道亮丽的风景，其中不乏以拉格朗日中值定理为背景的高考试题.拉格朗日中值定理是利用导数的局部性研究函数整体性的重要工具，它是沟通函数与其导数之间的桥梁，建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可以用它来研究函数的性态.下面以2009年辽宁省数学高考理科第21题为例，并结合近几年全国各地高考试卷中出现的以拉格朗日中值定理为背景的试题，探索该定理在中学数学中的应用.

1 一道高考题的两种解法

(1)讨论f(x)的单调性;

(2009年辽宁省数学高考理科试题)

1.1 解题分析

(1)略;

(2)证法1 由结论，知

因此，g(x)在(0，+∞)上单调递增，故有

证法 2 不妨设点 A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，原题即证 f(x)的任意一条割线的斜率kAB＞-1.由几何图形可知，只需证f(x)的任意一条切线的斜率kAB＞-1，即证f'(x)＞-1对x∈(0，+∞)恒成立，也即证

1.2 证法比较

证法1需要构造新函数来求解，构造函数g(x)=f(x)+x是本题的难点.事实上，可以从平时常遇到的一些结论进行联想和分析.如：化率.要证平均变化率大于-1恒成立，从几何图形不难分析，只需证明瞬时变化率大于 -1，即f'(x)＞-1，这就是证法2.若能结合几何图形，证法2比证法1更容易想到和……