戴天虹，袁 博

(东北林业大学机电工程学院，哈尔滨150040)

混沌是一种低阶确定性的非线性动力系统所表现出来的非常复杂的行为，它对现代科学具有广泛而深远的影响，几乎覆盖了一切学科领域，尤其是在物理学天体力学、数学、生物学、经济学等方面得到了广泛的应用［1］。我国的资本市场是一个具有分形维结构的混沌系统［2］。对股票市场进行混沌分析首先要先进行重构相空间。

1 相空间重构

动力系统重建称为相空间重构。动力系统长期演化中任一变量的演化过程都包含了系统所有变量的信息，即通过单变量时间序列反向构造出原系统相空间结构。考虑系统的某一单变量时间序列 {xi|i=1，2，…，N}，时间间隔选取为Δt，就可从单变量时间序列 {xi|i=1，2，…，N}分析系统所有变量发展演化过程，其中蕴藏着参与该运动的全部变量的演化信息在相空间反向重构得到分析。相空间重构可从一维扩展到多维，这样就能充分分析动力系统的所有信息。混沌系统有奇怪吸引子、分维数、正的Lyapunov特征指数等几个特征量。重构相空间就是通过选择合适的延迟时间和嵌入维数将原系统重构后，还原混沌系统的混沌吸引子，分析各个特征量。

Takens证明了一个合适的嵌入维，即如果延迟坐标维数m≥2d+1，d是动力系统的维数，利用原始系统中的某个单时间变量的延迟坐标来重构相空间，就可在重构相空间里把有规律的混沌吸引子恢复出来［3］。

设动力系统单时间变量x(t)，t=0，1，2，…，N，选取嵌入维数m;延迟时间τ，则m维相空间矢量: