刘 敏，黄 丽，李俊林

(太原科技大学应用科学学院，太原030024)

近几十年来，许多学者对算子代数或算子空间上保持某种性质、子集、函数或关系等不变量的映射的刻画问题进行了研究，其结果表明，许多情形下这样的映射是代数同态或代数反同态的，从而揭示了算子代数或算子空间的代数或几何结构性质[1-3].Hadwin和Larson[4]2003年引入了完全秩不增的线性映射的概念;文献[5]和文献[6]分别刻画了无限维实或复Banach空间上的标准算子代数上完全保持幂等元，平方零元和斜幂等元的满射问题，证明了这样的映射是同构或(复情形下)共轭同构的;文献[7]给出了反对合矩阵的若干性质。在此基础上，考虑一秩元集上完全保反对合性的可加映射的刻画问题。

1 定义

令X，Y表示实数域或复数域F上的无限维Banach空间，X*表示X的对偶空间，R表示一秩元集，用I1(X)表示R上的所有一秩幂等元的集合。称T为反对合算子，若T2=-I，对任意的x∈X，f∈X*，x⊗f表示由y→(y，f)x定义的一秩算子。一秩算子x⊗f是幂等的当且仅当f(x)=1.P⊥Q表示P和Q正交，P⊥Q⇔PQ=QP=0.设映射 Φ∶R→ℵ，对于每个n∈ℕ ，定义映射为 Φn∶R⊗Mn(F)→ℵ⊗Mn(F)为 Φn((sij)n×n)=(Φ(sij))n×n，则如果Φn保反对合性，称Φ是n-保反对合性的;如果对于每个正整数n，Φ是n-保反对性的，则称Φ是完全保反对合性的。

2 主要结果和证明

为了证明主要定理，需要引入引理1.

引理1[5]设X，Y是实数域或复数域F上的无限维Banach空间，P⊆B(X)，Q⊆B(Y)是任意包含所有秩一幂等元的幂等元集。令Φ∶P→Q是一个双射，如果Φ双边保正交性，则要么存在一个有界可逆线性或(复情形下)共轭线性算子A∶X→Y，使得Φ(T)=ATA-1，T∈P，要么存在一个有界可逆线性或(复情形下)共轭线性算子A∶X*→Y，使得Φ(T)=AT*A-1，T∈P.在第二种情形中，X和Y一定自反。……