柯世堂 ，葛耀君，赵林，张军锋，田村幸雄

(1.南京航空航天大学 土木工程系，江苏 南京，210016；2.同济大学 土木工程防灾国家重点实验室，上海，200092；3.东京工艺大学 风工程研究中心，神奈川 厚木，243-0297)

Davenport[1]于1967年引入随机振动理论将结构在脉动风作用下的响应分为背景和共振2部分，并采用“阵风荷载因子”表示高层建筑的等效静风荷载。借鉴这一思想，将等效静风荷载(ESWLs)也相应分成平均、共振与背景3个分量来求解，是由Zhou等[2-3]最早提出并经Holmes[4-5]进一步发展形成的经典求解方法，但其最大的局限性在于：(1)没有很好地解决共振分量求解中各模态之间的耦合项；(2)由于采用SRSS方法来组合获得脉动风总响应，因此，其无法考虑背景与共振模态之间的交叉项；(3)没有一个统一、完备的ESWLs计算理论来求解共振和交叉项分量。围绕这一难题，国内外很多学者都进行了相关的研究并取得了一定的成效。周印[6]采用三分量的方法对上海金茂大厦进行了分析，并与GLF法的结果进行对比，认为三分量法的结果更精确合理；Holmes[4]提出采用LRC法和惯性风荷载(简称IWL)法相结合来表示大跨度屋盖的等效静风荷载，并给出了平均风荷载、背景风荷载以及代表多阶共振分量的惯性风荷载一起组合的表达形式，但这种方法必须假定各参振模态之间能够很好的分离。Chen等[7-9]借鉴抗震分析的方法，将模态共振响应耦合项的贡献表示为独立模态的贡献和其相关系数乘积的形式，认为当相关系数比较大时，模态间的耦合性较强，需要采用CQC组合结构模态响应，反之则采用SRSS组合；陈波等[10]结合POD和Ritz叠加法对大跨屋盖的主要共振模态的选择进行了探讨，但没有很好地解决背景和共振模态之间的耦合效应问题；谢壮宁等[11]采用基于完全CQC组合结构的模态风振力，获得的ESWL中包含了所有模态的背景、共振及其耦合项，从精确度上满足要求，但由于没有区分背景和共振分量，使得风荷载作用机理不明确。大多研究[12-17]都是针对共振模态之间的耦合项(即前面提到的第1点局限)，而忽略背景与共振之间的耦合项(第2点局限)，并且也没有提出一个有效的计算交叉项ESWLs的方法(第3点局限)。然而，对于某些强耦合柔性结构来说，背景和共振之间的耦合项分量所占总脉动风总响应的比例甚至会达到20%，因此，这一分量不能忽略。而基于传统的三分量方法又无法考虑这一分量，或者即使能用CQC方法引入背景和共振分量之间的相关系数来求解交叉项响应，由于没有发展响应的交叉项等效静风荷载计算方法，使得交叉项的等效静风荷载计算成为难题。鉴于此，本文作者从结构动力学和随机振动理论出发，推导出结构脉动风总响应和ESWL的真实组合公式，并基于荷载响应相关理论，提出基于背景、共振和耦合恢复力协方差矩阵的一致耦合(简称CCM)方法来求解结构的脉动风致响应和ESWLs，并以一悬臂结构算例验证本文程序的正确性；最后给出某大跨度空间结构算例，采用本文提出的CCM方法以及传统的三分量方法进行风致响应计算，通过与全模态CQC计算结果进行对比分析，深入揭示三层耦合项的参与机理，验证本文方法的高精度和有效性，为求解此类强耦合柔性结构的风致响应和ESWLs提供一种新的思路。

1 CCM方法的提出

柔性结构在风荷载激励下的随机动力响应方程可表达为：

式中，{p(t)}代表外部风荷载激励向量；M，C和K分别为结构的质量、阻尼和刚度矩阵；,和y(t)分别为节点的加速度、速度和位移向量。

使用模态叠加原理，式(1)可表达成：

式中，qi(t)表示第i阶模态的广义位移向量；fi(t)表示第i阶模态的广义力向量。

对于柔性结构的风致动力响应来说，高阶模态的共振响应通常可以忽略，这样动态位移可以表示为：

式中：Φ为振型矩阵；iφ为第i阶振型向量；qi,b(t)为仅包含准静力贡献的第i阶背景位移响应向量；qi,r(t)为仅包含共振效应贡献的第i阶共振位移响应向量；{y(t)}b,n为包含所有模态准静力贡献的背景响应向量；{y(t)}r,m为仅包含共振效应贡献的前m阶模态共振位移响应向量。

1.1 传统的频域求解方法

通常有2种频域求解方法计算式(3)中总的脉动风响应向量的均方差。

(1)采用SRSS方法来组合背景和共振分量，可以表达为：

式中：σt, σb,n和 σr,m分别为响应向量{y(t)}，{y(t)}b,n和{y(t)}r,m的均方差。

其中背景分量可以作为准静力响应，采用LRC方法来求解，共振分量采用惯性风荷载方法来计算。这一方法不能考虑背景和共振之间的模态耦合项，也不能很好地考虑共振模态之间的耦合项。

(2)第2种方法为：

需要注意到背景分量σb,m是前m阶背景位移向量{y(t)}b,m的均方差；ρr,b为背景分量和共振分量之间的相关系数，可以用下式计算：

从式(5)可以发现：背景分量仅仅包含前m阶模态准静力贡献；相应地，背景和共振分量之间的交叉项也是仅仅包含前m阶模态的贡献。

基于SRSS组合的三分量法不能考虑背景和共振之间的交叉项，这对于相关系数 ρr,b很小的结构是可以接受的。然而，由于式(6)计算过程复杂，并且没有发展交叉项响应的ESWLs计算理论，因此，在大多数的柔性结构风致响应和ESWLs计算中都不考虑，这一做法对于某些强耦合结构不合理。

1.2 改进的频域求解方法

根据式(3)可以将脉动风总响应均方差精确的表达为：

式中：σc,nm代表前n阶背景分量和前m阶共振分量的交叉项。

和传统方法的最大不同在于式(7)能考虑所有模态的准静力贡献、前m阶共振模态之间的耦合效应、n阶背景模态和前m阶共振模态之间的交叉项。

1.3 CCM方法提出的原理

背景分量可以基于外荷载激励的协方差矩阵，并采用LRC原理进行精确求解。借鉴这一思路，提出广义恢复力协方差矩阵、共振恢复力协方差矩阵和耦合恢复力协方差矩阵这一概念，统一引入LRC方法来求解共振和交叉项分量，进而使得相应的ESWLs的求解有了理论基础。这样，式(7)变成：

式中：[Cpp]t为广义恢复力协方差矩阵；[Cpp]b为外荷载协方差矩阵；[Cpp]r共振恢复力协方差矩阵；[Cpp]c为耦合恢复力协方差矩阵；I为影响线矩阵。

这样，可以进一步变化耦合恢复力协方差矩阵的表达式为：

可以分别求解背景、共振和耦合恢复力协方差矩阵，在基于LRC方法获得各响应分量和ESWLs分量。

1.4 各分量的求解

仅包含共振分量的第i阶广义模态响应为：

则第i阶与第j阶广义共振模态响应的互功率谱为：

从式(11)可以发现，广义共振模态响应的求解关键是确定广义共振频响传递函数。

综合以上各式，广义共振模态响应协方差矩阵可表示为：

式中：SAA为经POD分解获得的前s阶时间坐标函数A(t)互功率谱矩阵，用作降阶处理。

应用模态展开理论，结构仅包含共振分量的弹性恢复力可表示为：

结合式(12)和(13)，得到{Peqq}r的互协方差矩阵[Cpp]r为：

从以上的推导容易看出，{Peqq}r为仅包含共振分量的弹性恢复力向量，其精确程度取决于计算{q(t)}r时所取的模态阶数和系统的动力特性；同理，把式(14)中求解[Cqq]r所需的共振频响函数换成广义频响函数矩阵H即可得到总弹性恢复力协方差矩阵[Cpp]t；在通过风洞试验获得风荷载时程直接获取背景恢复力协方差矩阵[Cpp]r；由式(8)可定义耦合弹性恢复力协方差矩阵[Cpp]c，其计算公式为：

至此，求解共振、背景、耦合响应及其等效静风荷载都可以转化为求系统在相应恢复力作用的准静力响应，进而可以利用LRC原理来计算。以共振分量为例给出求解过程L

当I为柔度矩阵时，r(t)即为结构的共振响应，其响应的协方差矩阵为：

式中，diag(·)表示取矩阵的对角元素组成列向量。响应Ri的对应的共振等效静风荷载为：

综上可知，采用这一思路可以求解背景、耦合分量的风致响应和等效静风荷载。需要注意的是：由式(17)求解的耦合响应协方差矩阵中的元素可能会出现负数的情况，元素为正时说明忽略耦合分量会低估结构的响应，为负时说明忽略耦合分量会高估结构的响应。在代入到式(18)中求解耦合响应时，一律按正值代入，但在组合时必须要考虑其正负影响。

1.5 总风致响应和ESWL的组合

最后组合脉动风总响应为：

这样结构的总响应为：

式中：σr，σb和σc分别为共振、背景和耦合响应分量，应该注意的是对于耦合分量的组合，一定要考虑其正负影响。

采用线性组合方式组合各分量得到总的等效静力风荷载，可以保证总的等效静力风荷载是真实的荷载分布形式，并且在该荷载作用下，能确保控制点和非控制点的响应都与峰值响应一致。

式中：Peb和Pec为等效静力风荷载背景和耦合分量；WB，WR和WC分别为Per，Peb和Pec的权值系数，

下面验证由总等效静力风荷载引起的静力响应的有效性：

通过上式的推导结果可知：若计算的结构风振响应结果正确，则其等效静风荷载一定准确无误。

2 程序正确性的验证

张相庭[18]采用模态位移法的随机振动理论分析了一高耸钢结构的风振响应，其中各风参数均采用我国规范的数据。为了验证CCM方法的正确性，采用相同算例计算，并与文献[18]中的计算结果进行对比。

算例参数：某等截面高耸钢结构，高度为100 m，质量分布均匀，分5等分，每层质量均为10 t，迎风宽度为10 m，弹性模量E=100 GPa，I=1.0 m4，基本风压为0.4 kPa，体形系数为1.3，B类地貌，结构阻尼比为0.01。进行风振响应分析时，采用Davenport脉动风速谱，空间相干函数采用Shiotani经验公式，峰值因子取为2.2。

结构前5阶模态圆频率分别为3.45，20.74，3.45，20.74和20.74 rad/s。可见，模态频率稀疏，第1阶模态起决定性作用。采用CCM方法分析时仅考虑1阶共振模态，所得各节点设计动响应见表1。

表1 典型节点脉动风振位移响应均方差Table1 Wind induced responses of typical nodes mm

从表1可见：2种方法所得结果比较吻合，由于节点2的响应自身数值较小，两者误差最大为3.08%，在顶点位移响应误差仅为0.49%，且本文方法计算数值均略大于文献结果。这是由于CCM法仅考虑了一阶共振模态响应，但其背景响应为所有模态的贡献，而文献基于模态位移法，其背景响应也仅仅考虑了1阶模态，故CCM方法计算结果更精确。

算例虽然验证了CCM方法的正确性，但是没有体现该方法的优点，因此，将其应用到结构风工程中，考虑更加复杂的结构及风荷载激励。

3 CCM方法在大跨空间结构风振分析中的应用

某大型博物馆的建筑及结构形式新颖，其状如山峦、通透空灵的形体宛如一朵浮云，被誉为“活的博物馆”。结构长228 m，宽90 m，屋顶结构采用斜放四角锥钢网架结构，整个双向曲面屋顶由6根“蘑菇柱”支撑，“蘑菇柱”均匀分布，很好地分散屋顶传来的荷载。

图1所示为该博物馆结构的有限元计算模型，图中黑点为A～F6个节点。图2所示为前200阶固有频率的分布情况。从图2可以看出：该结构的基本频率很低，仅为1.57 Hz，并且固有频率分布十分密集，在1.5～13 Hz存在300阶频率，各模态之间的耦合效应不能忽略。计算时取10 m高的基本风速为60 m/s，阻尼比为0.02，峰值因子统一采用3.5。

图3所示为采用全模态CQC方法计算结构2个节点的位移响应自功率谱密度函数，并且根据结构的动力特性标出了各动力放大效应出现的频率阶数。

图1 博物馆计算模型及典型节点示意图Fig.1 Model of museum for calculation

图2 结构固有频率分布图Fig.2 Scattergram of natural frequence

从图3可以看出：对于此类大跨度屋盖结构，背景和共振分量均不能忽略，并且对于不同的节点谁占主导地位需要进一步分析；引起结构的共振效应的模态不唯一，也不仅仅是低阶模态，可能出现多个高阶模态产生的共振效应共同作用的情况。但对于此类柔性结构来说，一般不会出现1个很靠后的模态产生共振效应，因此，只需确定1个截止频率就可进行共振分量的求解；从节点位移响应的功率谱变化图中无法看出背景和共振的交叉项影响，不能人为地判断忽略与否，需要进行相关分析才能获取其结果。

采用本文提出的CCM方法、传统的三分量方法以及基于不同阶数的传统CQC方法对结构进行频域计算，提取这6个典型节点的位移响应根方差。表2所示为这3种方法计算的响应结果。从表2可以发现：(1)对于博物馆这类大跨空间结构，必须考虑多阶模态的贡献，对每个结构应具体分析后确定参振模态数目，通过逐渐增加计算模态数并和全模态CQC法的计算结果对比确定该博物馆结构风振分析采用100阶即可；(2)采用传统的三分量方法的计算结果对于博物馆结构的脉动风致响应来说误差较大，其中E点的误差最大，达到了-14.61%，说明忽略背景和共振模态之间的耦合分量对于该结构来说有时偏于危险，需要引起重视；(3)本文方法计算结果和全模态CQC法的结果较吻合，最大的误差在F点，为1.94%。为更好地显现CCM方法的有效性，对比采用不同方法计算的6个目标响应的绝对平均误差。绝对平均误差的定义为：

图3 全模态CQC计算结构节点位移响应自功率谱图Fig.3 PSD of displacement responses for typical nodes

表2 型节点脉动风致响应根方差Table2 RMS value of fluctuating wind-induced responses of typical nodes mm

其中，为不同节点的相对误差。计算表明采用三分量方法计算的绝对平均误差为7.54%，而采用CCM方法的绝对平均误差不足1%。说明本文方法具有很高的精度和稳定性。

4 结论

(1)针对三分量法在求解强耦合柔性结构的风致响应和ESWL中的不足，在结构动力学和随机振动理论基础上，提出了用于补偿共振与背景间耦合分量的CCM法。其优点在于：采用同一理论基础进行背景、共振和交叉项3个分量的求解，能完全考虑各共振模态之间、共振和背景模态之间的耦合效应，并赋予共振和交叉项等效静风荷载分量以明确的物理意义。

(2)经典算例验证结果表明本文方法正确、有效，为强耦合柔性结构的风振响应分析提供了一种新的思路。

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