王小增，曾辉，杨久红

(嘉应学院 电子信息工程学院，广东 梅州 514018)

工业用球是重要的基础零部件，而且在一些特殊条件下，常常需要特殊材质的球，来完成不同环境下所要求达到的功能。一些特殊材质球已广泛应用于各个领域，如9Cr18,3Cr13不锈钢，铜、铝、钛合金钢以及玛瑙、玻璃、陶瓷球等材质球的推广应用。其中，轴承钢球为广泛使用的工业用球。为使钢球具有所需要的力学性能、物理性能和化学性能，除合理选用材料和各种成形工艺外，热处理工艺往往是必不可少的。在热处理过程中，钢球的温度控制是一项重要的内容，直接影响着钢球的热处理质量，如果温度控制不当，可能会导致钢球开裂[1-3]。球Bessel函数常用于解决球对称物体热传导定解问题[4-6]。下文采用能量守恒定律推导了钢球的热传导方程，采用球Bessel函数给出了钢球在温度上升过程中热传导方程的解析解，并对不同半径，初始温度为900 ℃的钢球温度达到均匀分布的时间进行分析，通过拟合方法得出了计算公式。

1 球体热传导方程推导

作为球形传热体，如图1所示，在笛卡尔坐标系中，球的温度分布为u(x,y,z,t)，球形表面为∑，d∑为球体表面积微元，m为面积微元的外法线方向。

图1 球模型

设Q1为单位时间内通过球形表面∑流出的热量，Q2为球体单位时间内温度升高所需的热量，Q3为球体单位时间内热源产生热量，此系统无热源，所以Q3为0。由能量守恒定律得

Q3=Q1+Q2，

(1)

即Q2=-Q1。

(2)

设qm为单位时间内由法线方向单位面积流出的热量，由Fourier传热定律得

(3)

式中：λ为传热系数，W/(m2·℃)。

由(3)式得

(4)

由Gauss定理得

(5)

结合(2)式得

(6)

(7)

(8)

2 球Bessel函数理论

Helmholtz方程在球坐标下分离变量得到球Bessel函数[7-8]

(9)

式中：k，l为中间变量。

令y(x)=x-1/2v(x)，得到半奇数阶球Bessel方程为

(10)

球Bessel方程的解可以用半奇数阶球Bessel函数表示，其中

(11)

(12)

用φl表示上述函数可以得出递推公式为

(13)

当l为整数时，

(14)

(15)

3 球体热传导方程求解

3.1 方程求解

设球体半径为r0，初始温度为u0，环境温度为U0。球体内部温度分布u(r,t)为定解问题，热传导方程为

(16)

其中，0≤r≤r0,t≥0。

为解决边界条件非齐次问题，设u=v+U0，则关于v的方程为

(17)

选取球坐标系，边界条件和初始条件与θ,φ无关，即v=v(r,t)满足方程

(18)

设v(r,t)=R(r)T(t)，代入方程分离变量得

(19)

R(0)有界，R(r0)=0，则

T′+k2a2T=0 ，

(20)

式中：T为中间变量；T′为T的一阶导数。

R(r)为0阶球Bessel方程，解为0阶球Bessel函数j0(kr),代入边界条件有R(r0)=j0(kr0)=0，则

knr0=nπ;n=1,2…,N。

(21)

一般解为

(22)

代入初始条件有

(23)

展开以球Bessel函数为基函数的广义Fourier级数可得

(-1)n+12(u0-U0),

(24)

最后得到方程的解为

(25)

3.2 级数收敛性分析

n取足够大的定值可以保证温度分布的计算精度，球体温度分布的定解为

(26)

4 实例分析

4.1 钢球温度分布

某钢球半径 25 mm，钢球初始温度20 ℃，加热炉温度保持为900 ℃，密度为7 800 kg/m3,比热容为448 J/(kg·℃),对流换热系数为70 W/(m2·℃) ，n取10。得到钢球温度分布表达式为

(27)

钢球在不同时间和不同位置的三维温度分布如图2所示。钢球在不同位置随时间的温度分布如图3所示，由图可知，越靠近钢球表面，温度变化越剧烈，所以表面的微小裂纹容易导致钢球的开裂。

图2 钢球三维温度分布

图3 钢球在不同位置随时间的温度分布

4.2 钢球温度分布均匀化时间计算

选取半径为5 ～25 mm的钢球代入(26)式进行计算，得出钢球的各个位置温度均达到899.99 ℃所需的时间如图4所示，由图4可知，分布均匀化所需时间为钢球半径的二次函数，所以进行二阶拟合。

图4 不同半径钢球温度分布均匀化时间

设x为钢球半径，y为温度分布均匀化所需时间，钢球温度分布均匀化时间计算的二阶拟合公式为

y=0.04x2-1.469 2×10-15x+1。

(28)

钢球半径为12.7 mm时，由拟合公式计算的温度分布均匀化所需时间为7.451 6 s；由温度分布(26)式计算的结果为7.5 s，误差为0.6%，可见由拟合公式计算不同半径的钢球温度分布均匀化所需时间是可行的。

5 结论

(1)与钢球内部相比，钢球的表面温度变化剧烈，所以钢球表面的细微裂纹容易扩大造成整个钢球在热处理过程中开裂，在钢球热处理之前应确保钢球无微小裂纹缺陷；

(2)由二次拟合公式可以精确计算不同半径钢球温度分布均匀化所需的时间；

(3)由球Bessel函数得出钢球热传导方程的解，可以方便地计算钢球在不同位置以及不同时间的温度值。