孙庆娟，郭文彬，王柄中

(聊城大学数学科学学院，山东聊城252059)

0 前言

矩阵方程是数值代数的重要研究领域。关于矩阵方程

的研究取得了不少进展。例如，1987年，文献［1］利用广义奇异值分解(GSVD)给出了矩阵方程(1)的极小范数解;1998年，文献［2］利用标准相关分解(CCD)研究了该矩阵方程的最小二乘解;2006年，文献［3］利用广义奇异值分解(GSVD)和标准相关分解(CCD)研究了该矩阵方程的极小范数最小二乘解;2007年，文献［4］利用Moore-Penrose广义逆给出了该矩阵方程的对称极小范数最小二乘解;2008年，文献［5］利用矩阵的Kronecker积与广义逆讨论了该矩阵方程的矩阵极小范数对称解，并给出了解存在的充分必要条件及解的表达式;2010年，文献［6］利用构造迭代算法讨论了该矩阵方程的对称最小范数最小二乘解。

然而，文献［1－8］中的方法用于解决矩阵方程(1)的Toeplitz矩阵解有一定的困难。因此，本文将利用Kronecker积、矩阵的拉直算子、Moore-Penrose广义逆来研究矩阵方程(1)的Toeplitz矩阵解和对称Toeplitz矩阵解的表达式，及其最小二乘解的一般形式。

1 基本定义

本文用ℝm×n表示全体m×n阶实矩阵的集合，In表示n阶单位矩阵集合。对于任意矩阵A，B∈ℝm×n，定义A与B的内积〈A，B〉=tr(BTA)，则由此内积所诱导出的范数是矩阵A的Frobenius范数。

定义 1［9］对于 n 阶方阵 X=(xij)∈ ℝn×n，存在一组数 x－(n－1)，x－(n－2)，…，x－1，x0，x1，…，xn－2，xn－1使得X的元素满足xij=xj－i(i，j=1，2，…，n)，则称X为Toeplitz矩阵，记作T(x－(n－1)，x－(n－2)，…，x－1，x0，x1，…，xn－2，xn－1)。全体 n 阶 Toeplitz矩阵的集合记作 Tℝn×n。

定义 2 对于 n 阶方阵 X=(xij)∈ ℝn×n，存在一组数 x0，x1，…，xn－2，xn－1使得 X 的元素满足

则称 X 为对称 Toeplitz矩阵，记作 ST(x0，x1，…，xn－2，xn－1)。全体 n 阶对称 Toeplitz矩阵的集合记作 STℝn×n。

定义 3［9］设 A ∈ ℝm×n，B ∈ ℝp×q，称 A ⊗ B=(aijB)∈ ℝmp×nq为 A 与 B 的 Kronecker积。

定义 4 设 A=(aij)∈ ℝm×n，记 ai=(a1i，a2i，a3i，…，ami)(i=1，2，3，…，n)，令

定义 6 当矩阵 X=ST(x0，x1，…，xn－2，xn－1)为 n 阶对称 Toeplitz矩阵时，令

2 矩阵方程AXB+CYD=E的Toeplitz矩阵解

引理 1［9］对于任意的矩阵 A ∈ ℝm×n，B ∈ ℝn×s，C ∈ ℝs×t，总有 vec(ABC)=(CT⊗ A)vec(B)。……