李二强，李灵晓

(河南科技大学数学与统计学院，河南洛阳471003)

0 前言

考虑如下 KdV-Burgers方程［1－2］

方程(1)既包含非线性效应、耗散效应，又包含频散作用，其中，α＞0为耗散系数;β＞0为频散系数。由于耗散过程具有时滞或记忆作用的特征，要计及这种时滞或记忆作用，方程(1)将会得到相应的修正［3］。

事实上，若记

则方程(1)可改写为守恒律的形式

其中F(x，t)称为流量。

利用流量松弛方法来表现时滞或记忆作用，即在流量F(x，t)中添加一个松弛量［4］

即以

取代式(2)，这里的τ≥0是时间特征常数。用式(4)中的F1取代式(3)中的F后可得

方程(5)称为时滞KdV-Burgers方程。

本文的目的是利用(1/G)-展开法［5－6］求解方程(5)和方程(1)，并对求得的解进行比较，以阐明时滞效应对于方程行波解的影响。

1 方程(5)与方程(1)的孤立波解

首先，引进行波变量

将式(6)代入式(5)并关于变量ξ积分一次，得u=u(ξ)的ODE

下面用(1/G)-展开法求式(7)的解。考虑u″与u2的齐次平衡，可设方程(7)的解为

其中，α1≠0;α0，λ 为待定常数。由式(8)易导出

将式(8)的第1式和式(9)代入式(7)可得关于α1、α0、λ、c和D的代数方程组

解得

利用方程G'+λG=1的通解

结合式(11)、式(8)和式(6)即得时滞KdV-Burgers方程(5)的两组解:

(Ⅰ)若 τc2≠ α，

(Ⅱ)若 τc2= α，

其中，τc2≠α;ξ=x－ct+ξ0;c为任意常数。

此时，若时间特征常数τ=0，则式(15)和式(16)分别给出KdV-Burgers方程(1)的行波解

其中，ξ=x－ct+ξ0;c为任意常数。

方程(19)的周期波解为［7］

2 方程(5)与方程(1)孤立波解的比较

为作定性分析，把式(7)写成等价方程组

(Ⅰ)当0≤τc2＜ α，δ＞0，△ ＞0时，方程组有两个奇点，其中，E－为鞍点，E+为不稳定结点。方程组(22)唯一的有界解是连接鞍点E－和结点E+的异宿轨道，其相图见图1。由式(11)的第4式知

故式(15)表征的是时滞KdV-Burgers方程对应于鞍－结异宿轨道的冲击波解(见图2)，而式(17)表征的是KdV-Burgers方程对应于鞍－结异宿轨道的冲击波解。……