杨 鑫

(重庆理工大学化学化工学院，重庆 400054)

在过去的几十年里，基于模型的PID控制器设计研究发展迅速，提出了很多设计方法，例如连续循环法［1］、直接合成法［2］、内模控制法 (internal model control，IMC)［3-6］等［7-11］。其中 IMC-PID是应用最广泛的方法［11］，通过调节PID设计算法中的λ参数，可得到很好的控制效果。但是此过程需要先得到过程模型，并需要通过模拟或是工厂实验来调节其参数，很费时间，工程代价也比较高。

为克服上述缺点，Campi等［12］提出了一种基于过程输入输出数据，不需要建立过程模型的PID控制器设计方法——虚拟参考反馈参数整定法(virtual reference feedback tuning，VRFT)。但是该方法的应用只限于离散时间系统［12-13］。为此Yang等［14-15］将VRFT方法发展到连续时间系统，提出了一种基于数据的PID控制器的设计方法。此方法不需要建立过程模型和进行反复实验来调节控制器参数，取得了很好的设计效果。Yang等［14-15］的研究表明，参考模型的选取对基于数据的PID控制器设计很重要。为研究不同参考模型对控制器设计效果的影响，本文采用2个参考模型对过程进行基于数据的PID控制器设计，并对计算结果进行分析比较。

1 基于数据的PID控制器设计

在基于数据的PID控制器设计中，需要用到一个参考模型，如图1所示。

图1 参考模型

参考模型T(s)表示一个反馈控制系统，其中包含了一个线性过程G(s)和PID控制器C(s)，如图2所示。

控制器的设计目标是令图2中的反馈控制系统尽可能接近事先选定的图1中的参考模型T(s)。

图2 反馈控制系统

过程G(s)未知，但是其过程输入输出数据U(s)和Y(s)可以通过开环实验得到。令s=jω，通过对过程输入输出数据进行离散傅里叶变换，得到在不同频率下的输入输出数据 U(jωi)和Y(jωi)，其中是离散傅里叶变换计算需要的频率范围的上限。最后控制器的设计目标变为在频率范围 [ 0 ωmax]内的最小化问题，见方程(1)。推导过程详见文献［14-15］。

其中:Re(·)和Im(·)分别表示复数矩阵(或者向量)的实部和虚部;θ是参考模型T(s)的调节参数;Kc是比例增益;τI是积分时间;τD是微分时间。

对给定的θ，通过最小二乘法可得到方程(1)的解:

在给定的θ范围内，通过寻找最小的 J(θ)，也就是J(θ*)，其相应的解W*(θ*)可用来计算PID控制器参数。

2 参考模型T(s)及ωmax

本文选取了2个参考模型，第1个模型是基于环路传递方程L(s)的参考模型［9］，另一个模型是二阶加纯滞后模型(SOPDT)［8］。

因为ωmax跟控制器设计紧密相关，可将ωmax设定为反馈系统的带宽频率ωb。由于过程模型和控制器未知，因此计算ωb的唯一方法是通过参考模型［14-15］，见式(8)。

2.1 参考模型1及ωmax

参数θ的范围包含过程的时间延迟范围，并与方程(1)的优化求解有关。将参考模型1代入式(8)，对每个 θ，ωb可通过式(10)得到［14］。

2.2 参考模型2及ωmax

第2个参考模型是二阶加纯滞后模型:

在控制器设计中，参考模型［15］采用 τ =0.5θ，ξ=0.9或1.0。既然 τ 是 θ的函数，ξ是固定的，因此方程(1)也与参数θ相关，θ的范围同样包括过程的时间延迟范围。

将参考模型2代入式(8)，对每个 θ，得到

基于数据的PID控制器设计方法分为以下几步来执行:

步骤1 从开环实验中得到过程输入输出数据u(t)和y(t)，并且给定θ的范围。

步骤2 求解方程(1)。对每个θ，根据参考模型可得到相应的ωb，令ωmax=ωb。

步骤3 用离散傅里叶变换得出过程输入输出数据的频率响应 U(ωi)和Y(ωi)。

步骤4 重复步骤2和3，直到在给定的θ范围内得到最小的J，其相应的最优结果W*可用来计算得到最佳的PID控制器参数。

3 算例

图3 输入输出数据(G1(s))

通过使用相同的输入输出数据和θ范围，分别用上述2个参考模型设计得到了PID控制器。图4比较了控制器的目标单位阶跃伺服响应。表1列出了控制器参数和其控制响应的绝对误差积分(IAE)。由此看出，采用基于L(s)的参考模型得到的控制器要比采用2阶加纯滞后模型T(s)得到的控制器产生的响应更快，但是过冲更大一点，振荡也稍多一点。从IAE结果比较看来，用这2个参考模型设计得到的控制器性能很相似。

表1 基于数据的PID控制器设计(G1(s))

图4 基于数据的PID控制器的目标单位阶跃伺服响应(G1(s))

除了第1个例子的G1(s)，也对下面所列的其他10个过程进行比较研究。对每个过程，采用相同的输入输出数据和θ范围，用这2个参考模型分别设计了PID控制器。图5比较了控制器产生的目标单位阶跃伺服响应。通过比较可以看出，用基于L(s)参考模型设计的控制器要比第2个参考模型T(s)响应稍快，但是过冲稍微大一点。表2比较了控制器参数和其产生的控制响应的IAE数值。从IAE的比较来看，用这2个模型设计的PID控制器性能相当。

表2 基于数据的PID控制器设计(G2(s)-G11(s))

图5 基于数据的PID控制器的目标单位阶跃伺服响应(G2(s)-G11(s))

4 结束语

介绍了在连续时间系统下基于数据的PID控制器的设计方法，并研究比较了参考模型对该设计方法的影响效果。通过采用2种不同形式的参考模型来设计基于数据的PID控制器，结果表明，设计得到的控制器性能相当。也就是说，这2种参考模型都可以用来设计基于数据的PID控制器。该设计方法相对基于模型的IMC-PID控制器设计方法来说，不需要事先确定过程模型，也不需要迭代实验来找出最佳的控制器调节参数，从而节省了时间，降低了工程成本。

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