卜香娟

(西北大学数学系,陕西西安 710127)

Banach空间中一类序压缩映射的不动点定理

卜香娟

(西北大学数学系,陕西西安 710127)

在Banach空间中,利用迭代方法,研究了满足一定条件的序压缩算子的一些性质,获得了一类序压缩映射的不动点定理,证明了相应的结果,推广和改进了原有的结论,使其应用范围更加广泛.

序Banach空间;正规锥;不动点;序压缩算子

1 引言及基本概念

近年来,很多学者研究了实Banach空间以及序Banach空间[1]中序压缩映射的不动点定理,文献[2]引入了几种按序压缩的压缩性映射,并证明了相应的不动点定理,本文在较弱的条件下讨论了一类序压缩映射的不动点定理并给出了证明,推广了已知的结果.

定义1.1[3]设E是Banach空间,P为E的子集,若P满足:

(i)P是非空凸子集

(ii)∀x∈P以及∀λ＞0,λx∈P;

(iii)若x∈P且-x∈P,则x=θ.

则P是一个以θ为顶点的锥.给定E中的锥P,可以定义E中的偏序关系:

若x,y∈E,y-x∈E,则称x≤y.若P是E中的锥,若存在常数N＞0,使得对θ≤x≤y,有‖x‖≤N‖y‖,则称P是正规的,N为正规常数.

定义1.2[3]设“≤”是由锥P确定的半序,对u,v∈E,若有u≤v或v≤u之一成立,则称u和v是可比较的.当u和v是可比较时,若v≤u,则记u∨v=u;若u≤v,则记u∨v=v.

引理1.1[2]若u和v是可比较的,则u-v和v-u也是可比较的,且

引理1.2[2]若u和v,u和w,v和w是可比较的,则引理1.3[2]若对所有的n,u和vn是可比较的,且vn→v0,则u和v0是可比较的.

引理1.4[2]若对所有的n,un和vn是可比较的,且

则u0和v0是可比较的.

2 主要结果

定理2.1[47]设E是实Banach空间,P为正规锥,正规常数为N,设映射A:E→E满足:

(i)∀u,v∈E,若u和v是可比较的,则Au与Av也是可比较的;

(ii)存在单调递增的映射α(t):[0,∞)→(0,1),使得

(iii)存在x0∈E,使得∀n,x0和Anx0是可比较的,则A存在不动点,且迭代序列{Anx0}收……