华义平

(池州学院数学计算机科学系,安徽池州 247000)

共形平坦黎曼流形上的Schou ten张量

华义平

(池州学院数学计算机科学系,安徽池州 247000)

M是一个紧致的局部共形平坦黎曼流形,其上定义的Schouten张量是一个Codazzi张量.本文借助这个Codazzi张量引入Cheng和Yau的自伴算子,从而获得了局部共形平坦流形上的一些性质,改进了已有的结论.

局部共形平坦;Schouten张量;Ricci曲率;数量曲率

1 引言

文献[1]研究了具有非负截面曲率的共形平坦黎曼流形,得到了:

定理1M为紧致共形平坦流形,如果M具有常数量曲率及非负截面曲率,则M为常截面曲率流形或者M可以表成一个常截面曲率流形和一个一维黎曼流形的乘积.

本文继续对局部共形平坦黎曼流形进行研究,将定理1中截面曲率非负削弱为Ricci曲率非负,得到了:

定理2M为紧致共形平坦黎曼流形,若M的Ricci曲率非负,且其中S为Schouten张量,∇、tr S分别表示梯度算子和S的迹,则M可以表示为空间形式或者Sn-1(c)×R.

推论1M为紧致共形平坦的具有非负常数量曲率的黎曼流形,若则M可以表示为空间形式或者Sn-1(c)×R.

推论2M为紧致共形平坦的具有常数量曲率的黎曼流形,若M的Ricci曲率非负,则M可以表示为空间形式或者Sn-1(c)×R.

注推论2中蕴含了定理1.

推论3M为紧致共形平坦黎曼流形,若M的Ricci曲率非负,且

则M可以表示为空间形式或者Sn-1(c)×R.

推论4M为紧致共形平坦黎曼流形,若M的Ricci曲率非负,且

则M可以表示为空间形式或者Sn-1(c)×R.

2 预备知识

令M为n维黎曼流形,e1,e2,…,en为M上的局部标架场,w1,w2,…,wn为其对偶标架场,M的结构方程为:

其中wij是M的Levi-civita联络……