田社平，张 峰，陈洪亮

(上海交通大学电子信息与电气工程学院，上海 200240)

0 引言

基尔霍夫电流定律(KCL)和基尔霍夫电压定律(KVL)是电路理论的基本规律，它们是电路理论的基石。特勒根定理也是电路基本规律的一种表述。

KCL、KVL和特勒根定理描述了电路的拓扑约束关系，三者之间的关系是:已知任意两者可推导出第三者。三者之间的关系已有多种方法可以证明[1，2]，它们或简或繁。如何找到一种简洁的，与当前电路理论教学内容表述方式相吻合的证明方式，是一个值得研究的问题。

本文在文献[3]的基础上，对上述问题进行了进一步的研究，给出了该文献结论的严格证明，同时拓展了KCL、KVL和特勒根定理三者之间相互关系的表达方法。

1 符号约定与基本结论

为分析的方便，本文先给出一些相关符号约定和电路的图的基本结论。这些内容在一般的电路教材都有叙述[4，5]。

对一个具有n个节点和b条支路的集中参数电路，其支路电压向量和支路电流向量分别用ub和ib表示，即 ub= [u1u2....ub]T，ib= [i1i2...ib]T，且各支路电压与电流采取一致参考方向。选定该电路的图的一个树，得到电路的基本回路矩阵和基本割集矩阵分别为B和Q，这两个矩阵的列所对应的支路按照先连支、后树支的次序进行排列。

树支对应的树支电压向量和电流向量分别为ut=[ut1ut2....ut(n－1)]T，it={[it1it2....it(n－1)]T，连支对应的连支电压向量和电流向量分别为uc=[uc1uc2....uc(b－n+1)]T，ic= [ic1ic2....ic(b－n+1)]T。在上述假定条件下，有下述基本结论。

(1)B和Q可分别表示为如下分块矩阵形式:

式中，1c表示一个b－n+1阶的单位矩阵;Bt是一个(b－n+1)×(n－1)矩阵;Qc是一个(n－1)×(b－n+1)矩阵;1t表示n－1阶的单位矩阵。……