罗佩芳 黄赞

(1．广东培正学院 计算机科学与工程系，广州 510830;2．华南理工大学 机械与汽车工程学院，广州 510640)

一类带谱参数的奇异Sturm-Liouville算子特征的渐近分析Ⅱ

罗佩芳1黄赞2

(1．广东培正学院 计算机科学与工程系，广州 510830;2．华南理工大学 机械与汽车工程学院，广州 510640)

研究了一类具有转换条件且在一个边界条件中带谱参数的奇异Sturm-Liouville问题．将上述问题的特征值与特征函数的渐近分析，转化为考虑定义在适当的Hilbert空间H中的一个线性算子A的特征值与特征函数的渐近分析．同时，推导出该奇异的Sturm-Liouville算子A的特征值与特征函数的渐近式。

谱参数;转换条件;特征值;特征函数;渐近式

1 预备知识

近十几年来，人们对边界条件中带谱参数的Sturm-Liouville(S-L)问题进行了大量的研究，产生了许多理论成果［1－4］，Huang等［5］研究了一类具有转换条件且在边界条件中带谱参数的奇异S-L算子的基本解的渐近分析。本文中，笔者将考虑一类具有转换条件且在边界条件中带谱参数的奇异S-L算子的特征值与特征函数的渐近式。

设所研究的二阶Sturm-Liouville方程为：

其中，I=［0，c)∪(c，+∞);q(x)∈L1(I，R);λ∈C 是谱参数。边界条件为

带谱参数的边界条件为

其中：y1，y2是方程 －y″+q(x)y=0 的一组线性无关解;［y，yl］(∞)(l=1，2)是 Lagrange双线性型;［y1，y2］(∞)= －1(p=1)。文中，假定S-L问题在奇异的端点+∞点为极限圆型［4－6］，转换条件为

本文中奇异的S-L算子A的生成以及内积的定义见文献［6］。

引理1［7］边值问题(1)－(5)的特征值与算子A的特征值相同，它们的特征函数是算子A相应的特征函数的第一个分量。

引理2［7］线性算子A在H中是自伴的。

引理3［7］边值问题(1)－(5)的特征值等价于整函数w(λ)的零点。

引理4［5］设λ=s2，s=σ+it，则当|λ|→∞时，下面的渐近式在x∈I上一致地成立(k=0，1)。

1)当α'2≠0时，

引理6［8］(Rouché定理)设是一条围线，函数f(z)及满足条件：1)它们在C的内部均解析，且连续到C;2)在C上，|f(z)|＞|φ(z)|，则函数f(z)与f(z)+φ(z)在C的内部有同样多(几级算作几个)的零点，即 N(f+φ，C)=N(f，C)。

2 特征值的渐近式

定理1 设λ=s2，s=σ+it，边值问题 (1) － (5)有且仅有可数个特征值，且当n→∞，b→∞时有如下的渐近式。

情形1：若 α'2≠0，β'2≠0，则

对于其它情形可以用类似的方法求得。

3 特征函数的渐近式

其他的渐近式可以类似地求得。

［1］AKDOˇGAN Z，DEMIRCI M，MUKHTAROV O Sh．Discontinuous Sturm-Liouville problems with eigenparameter-dependent boundary and transmissions conditions［J］．Acta Applicandae Mathematacae，2005，86：329 －344．

［2］Kadakal M，Mukhtarov O Sh．Discontinuous Sturm-Liouville problems containing eigenparameter in the boundary conditions［J］．Acta Mathematica Sinica，2006，22：1519 －1528．

［3］Altinisik N，Kadakal．Eigenvalues and eigenfunctions of discontinuous Sturm-Liouville problems with eigenparameter-dependent boundary conditions［J］．Acta Mathematica Hungarica，2004，102：159 －175．

［4］Kong Qingkai，Wu Hongyou，Zettl A．Multiplicity of Sturm-Liouville eigenvalues［J］．Journal of Computational and Applied Mathematics，2004，171：297－300．

［5］黄赞，罗佩芳，沈京虎．一类带谱参数的奇异Sturm-Liouville算子特征的渐近分析Ⅰ［J］．延边大学学报：自然科学版，2009，35(3)：198－202．

［6］曹之江．常微分算子［M］．上海：上海科学技术出版社，1987：59－60．

［7］黄赞，罗佩芳．一类带谱参数的奇异Sturm-Liouville算子Ⅰ［J］．肇庆学院学报，2008，29(2)：9－12．

［8］钟玉泉．复变函数论［M］．北京：高等教育出版社，1979：256－257．

Asymptotic Analysis of a Class of Singular Sturm-Liouville Operators with Spectral-parameterⅡ

LUO Pei-fang1HUANG Zan2
(1．Department of Computer Science and Engineering，Guangdong Peizheng College，Guangzhou 510830，China;2．School of Mechanical＆ Automotive Engineering，South China University of Technology，Guangzhou 510640，China)

This paper investigates a class of singular Sturm-Liouville problems with transmission conditions and spectral-parameter in one boundary condition，defining a self-adjoint linear operator A in a suitable Hilbert space H such that the eigenvalues and eigenfunctions of such problem are transformed into those of operator A，meanwhile，it also deduces the asymptotic formulae of the eigenvalues and eigenfunctions of the singular Sturm-Liouville operator A．

spectral-parameter;transmission conditions;eigenvalues;eigenfunctions;asymptotic formulae

O 175.3

A

1009－0312(2012)01－0014－05

2011－04－19

广东省自然科学基金资助项目 (5012285);广东培正学院青年项目 (11pzxmyb039)。

罗佩芳 (1980—)，女，黑龙江哈尔滨人，讲师，硕士，主要从事偏微分方程数值解研究。