及万会, 黑宝骊



关于二项式系数级数恒等式

及万会, 黑宝骊

(银川能源学院 基础部, 宁夏 银川, 750105)

根据一个已知级数, 使用裂项方法得到分母含有1到5个因子的二项式系数级数. 所给出二项式系数级数的和式是封闭形的, 并给出二项式系数数值级数恒等式. 裂项的方法研究二项式系数变换是组合分析的新手段, 也是产生新级数的一个初等方法.

二项式系数; 裂项; 级数; 封闭形; 恒等式

1 主要结论与证明

定理1 a. 分母含有1个因子的二项式系数级数恒等式.

b. 分母含有2个因子乘积的二项式系数级数恒等式.

c. 分母含有3个因子乘积的二项式系数级数恒等式.

d. 分母含有4个因子乘积的二项式系数级数恒等式.

e. 分母含有5个因子乘积的二项式系数级数恒等式.

证明 a. 对级数(1)式左端裂项:

整理得到(2)式.

即:

在(36)式中含有2个因子的分式10个, 3个因子的分式有10个, 4个因子的分式有5个, 5个因子的分式1个, 对(36)式实行下列运算得到分母含有1, 2, 3, 4个因子的组合数的恒等式.

(a) 将(36)式的所有含有因子的分式化成部分分式, 得:

(b) 对于(36)式, 首先保留2个因子的分式, 其他分式化成部分分式.其次对这些2个因子的分式, 每次保留1个, 其余化成部分分式, 得到:

(c) 对于(36)式, 首先保留3个因子的分式, 其他分式化成部分分式. 其次对这些3个因子的分式, 每次保留1个, 其余化成部分分式, 得到:

(d) 对于(36)式, 首先保留4个因子的分式, 其他分式化成部分分式. 其次对这些4个因子的分式, 依次保留1个, 其余化成部分分……