周超红，姚清河，朱庆勇

(中山大学应用力学与工程系，广东 广州 510275)

浅水波方程是计算流体力学中的一类重要方程。浅水波方程的应用范围十分广泛，可用于河道流量、溃坝决堤、污染物输运扩散、河道输沙、洪水预报、河口潮汐、涌浪等大量问题。

由于浅水波方程的应用背景十分广泛，其数值方法的研究自然成为了计算流休力学和计算水动力学的重要课题。由于二维浅水波方程的一般形式比较复杂，本文中使用在无黏性、无摩擦、河底无倾斜的理想情况下的二维浅水波方程作为求解模型。群速度控制的思想是由傅德薰、马延文[1]提出的，朱庆勇[2-4]利用这种思想成功构造了求解空气动力学方程的高分辨率格式，之后他们[5]将这一思想引入浅水波方程，构造了求解一维浅水波方程的群速度控制格式。

利用群速度控制的思想，本文构造了多种求解二维浅水波方程的高分辨率格式。通过引入色散度量以及各向异性度量的概念，为评估差分算子对微分算子的逼近程度提供了客观标准。数值实验结果表明，这些格式均可以很好地控制非物理振荡并保证格式精度。

1 预备知识

考虑单波方程及其半离散方程

,f=f(u)

(1)

(2)

这里Fj/Δx是一阶导数∂f/∂x的差分逼近，定义差分算子如下

±(fj±1-fj)

Fj可以表示为

βm(fj + m + 1-fj + m)

下面我们利用傅里叶分析法对差分方法进行理论分析。

考虑f(u)=au，其中a为常数，初值条件u(x,0)=u0(x)，考虑以2π为周期的单波解，对于半离散方程(2)，我们设x方向网格步长为

设其初始条件为uj=exp(ikxj)，Fj=akeexp(ikxj)，ke=kr+iki。……