李伟达，康 娜，2

（1.河北师范大学 数学与信息科学学院，河北 石家庄 050024；2.石家庄经济学院 数理学院，河北 石家庄 050031）

1 引言

三对角对的概念起源于代数组合论中的P－和Q－多项式结合方案理论［1］。对于一个三对角对，存在一个称为可裂分解的向量空间的直和分解［1，Definition4.1］。为了更好地解释这个结论，Godjali［2］引入更一般的线性变换有序对，称为海森伯格对。最近，侯波和高锁刚［3］引入了与之相关的海森伯格系统和尖锐的海森伯格系统的概念。本文主要对海森伯格对和海森伯格系统进一步研究，给出ZZ2×ZZ2在全体海森伯格系统所组成的集合上的一个群作用；研究尖锐的海森伯格系统之间的同构和仿射变换同构。最后，计算尖锐的海森伯格系统及其相关的系统的参数阵列。

2 海森伯格对

FF是一个域，V为FF上有限维向量空间，End（V）为全体V到V上的线性变换组成的FF－代数。

定义1［2，Definition 1.1］ 所谓V上的一个海森伯格对是指一对有序的线性变换A：V→V和A＊：V→V满足条件：（i）A，A＊在V上可对角化。（ii）存在A的特征子空间的序使得A＊Vi⊆V0＋V1＋… ＋Vi＋1（0≤i≤d），规定V－1：＝0，Vd＋1：＝0。（iii）存在A＊的特征子空间序使得规定

当V作为A，A＊－模是既约的，并且V0＊的维数为1时，称A，A＊为尖锐的海森伯格对。

设A在V上可对角化，θ0，θ1，…，θd是A的特征值序列。令则称E是iA关于θi的本原幂等元。并且满足（i）AEi＝EiA＝θiEi（0≤i≤d）；（ii）EiEj＝δijEi（0≤i，j≤d）；（iii）

定义2［3，Definition 2.1］ 所谓V上的一个海森伯格系统是指一个序列满足条件：（i）A，A＊是V上可对角化的线性变换；（ii）是A的一组本原幂等元序列；（iii）是A＊的一组本原幂等元序列＝0当i＞j＋1（0≤i，j≤d）；（v）＝0当

i＞j＋1（0≤i，j≤δ）。规定

海森伯格对和海森伯格系统之间存在对应关系（［3］）。与尖锐海森伯格对对应的海森伯格系统称为尖锐的。……