杨昌海

摘要： 本文介绍了函数方程、复合函数及与函数方程有关的一系列的定义，准确分析了函数方程f［g（x）］=h（x）应满足的条件及有解的条件；然后说明了解高斯函数方程的解法特点；最后通过列举实例，说明了解函数方程的常用方法.

关键词： 函数方程复合函数解法

一、函数方程f［g（x）］=h（x）的解法

1.关于函数方程f［g（x）］=h（x）的有解条件

由函数、复合函数的概念知，该方程的解f（u）同时具备下述特征：

（1）f（u）是非空数集D到非空数集M上的一个满射（M中每一个元素都有原象）.

（2）y=f（u）、u=g（x）的复合函数f［g（x）］存在，即函数f（x）的定义域与函数g（x）的值域之交集是非空数集.

（3）f［g（x）］=h（x）的解不仅使等号两侧的函数f［g（x）］、h（x）保持对应法则相同，而且使它们的定义域（E?勐E=E）相同、值域相同.

因此，当满足方程的对应法则f（x）不存在，或其存在但至少与上述三点之一相悖时，此方程无解.

当满足方程的对应法则f（x）存在，具备上述三点，且D=D时，此方程有唯一解.

当满足方程的对应法则f（x）存在，具备上述三点，且D?奂D时，此方程有无穷多个解.

2.函数方程f［g（x）］=h（x）的解法

在解此类函数方程时应严格按照以下步骤.

（1）根据函数方程f［g（x）］=h（x）有解的条件判断函数方程是否有解，若有解，解的个数又是多少.

（2）用换元法求出其解.

（3）检验所求出的解是否满足复合函数中的定义域、值域之间的关系.

例1：已知f（）=lg（2x+1），f（u）是定义在（-∞，-5）∪（1，+∞）上的函数，求f（u）.

误解：设=u，则x=，代入已知等式得：

f（u）=lg（+1），

∴f（u）=lg，u∈（-∞，-5）∩（1，+∞）为所求.

此题的解法看上去是准确无误，实际上是忽视了此方程有解的条件，主要原因是E=（-0.5，+∞），E?哿E=（-∞，0）∪（0，+∞），必有E≠E，因此，本题也无解.

二、求解高斯函数方程的几种方法

函数f（x）=［x］叫做高斯函数，其中［x］表示不超过实数x的最大整数.含有［x］的方程叫做高斯函数方程，下面就通过举例说明一些解高斯函数方程常用的技巧.

1.巧用［f（x）］=f（x）-a，0≤a＜1的性质

由定义可知［f（x）］=f（x）-a，0≤a＜1，我们巧用这一结论，可以解方程两边都是关于x的同次的问题，快捷简明.

例2：方程［3x-4］-2x-1=0的解是.

解：因为［3x-4］=（3x-4）-［x-5］，

所以0≤x-5＜1，解得5≤x＜6，从而得≤2x+1＜.

由2x+1∈Z，得2x+1=13、14，故x=6或x=6.

2.利用放缩法缩小不等式的范围

根据题意，用放缩法我们可以先求出x的范围，再由［x］是整数，即可求出其解.由定义我们很容易可以得到x-1＜［x］≤x，x-1＜［x］≤x就为用放缩法创造了有利的条件.

例3：求方程x-8［x］+7=0的全部解.

解：∵［x］=（x+7）

∴x-1＜（x+7）≤x，解得1≤x＜3或5＜x≤7，从而有

1≤（x+7）＜2或4＜（x+7）≤7，

∵（x+7）∈Z，

∴（x+7）=1、5、6、7，又x＞0.

∴x=1，x=，x=，x=7.

3.巧用分类讨论法

某些高斯函数方程，采用分类讨论的方法可以达到解题的目的.

例4：试求方程的质数解：［］+［］+［］=q.

解：（1）当p=2时，代入原方程，得q=1，这与q是质数矛盾.

（2）当p=3时，代入原方程，得q=2.

（3）当p＞3时，任何质数p=6k±1，k∈N.

若p=6k+1，则代入原方程，得

q=［3k+］+［2k+］+［k+］=3k+2k+k=6k，这与q是质数矛盾.

若p=6k-1，则代入原方程，得

q=［3k-］+［2k-］+［k-］=（3k-1）+（2k-1）+（k-1）=6k-3=3（2k-1）

要使q是质数，只有2k-1=1，即k=1，因此p=5，q=3.

综上可得，所求的质数解是p=3，q=2或p=5，q=3.