何二炳

中图分类号：P228.4

摘要：本文从无约束平差的数学模型、高斯投影转换、确定地方椭球、转换到地方独立坐标系及精度评定几个方面探讨了无约束平差及其成果转换，具有较高的价值和系统性，供参考。

关键词：无约束平差；GPS；坐标系

GPS基线向量观测值是WGS-84坐标系中的三维空间直角坐标差，通过对GPS控制网进行同步环、异步环闭合差及重复观测基线较差的比较，检验闭合差及较差是否均在规定限范围之内这几步之后，三维或二维GPS网无约束平差所得的单位权、长度、方位的精度真反映了GPS观测所具有的随机误差统计结果，因而可以衡量CPS测量成果的精度。在GPS网维或二维无约束平差后，如果平差后单位权中误差，基线坐标分量的改正数在毫米或最大在2-3cm以内，一般可认为GPS网无明显粗差;所以，GPS网的无约束平差，相当于统测量中对观测数据的检核。

对不含地面数据的GPS网在WGS-84坐标系中进行三维平差有如下作用：

1.检查GPS基线向量是否有粗差和明显的系统误差，并考察GPS网的内部精度和

基线向量的观测精度。

2.提供GPS网中各点相对于某点的大地高差数据，以便进一步求定各点的大地高

用于进行高程转换。

3.提供网中各点WGS-84坐标，用于和地面己知坐标数据进行坐标转换。

1无约束平差的数学模型

GPS网三维无约束平差数学模型：

如果把公式(1)式写为矩阵形式，则

(2)

其中，系数矩阵A为

因为GPS网是三维控制网，所以，在对GPS网进行平差时，应有三个位置基准，一个尺度基准和三个方位基准。而GPS基线向量包含有WGS一84坐标系中的尺度和方位信息，只缺位置基准，所以一般可以取某点单点定位的三维坐标或者某个国家点的坐标作为位置基准。

若选择第K点为基准点，则基准条件为

若取基线解算软件给出的观测值的方差阵，则，综合公式(2)和(3)可得到待估参数的计算公式为，

(4)

而，所以的协因数阵为

(5)

也可以按秩亏平差法求解，即以网的重心为位置基准，仍以GPS基线向量观测值的尺度和方位为尺度基准和方位基准，将位置基准方程写为

（6）

其中G应满足

(7)

通常取为

按秩亏平差原理可得

(8)

因为GPS单点定位的精度不高。因此，经GPS网平差后，各点在WGS-84坐标系中的坐标值精度较低。但他们相对于网的位置基准的精度很高。从这个意义上说，GPS网平差后各点的坐标并不属于真正的WGS一84坐标系，而是属于一种独立坐标系。

如果需要得到GPS点的大地坐标可按下式转换得到

其中大地纬度B由第二式按迭代法求得迭代时B的初值。

2高斯投影转换

GPS测量得到的是空间三维直角坐标，需经过坐标变换、高斯投影后刁‘能得到所需的参考椭球面上的高斯平面直角坐标。经过了高斯投影，它必然产生两种变形，即高程归算变形和高斯投影变形。将GPS地面观测的长度归算到参考椭球面上产生的变形稱高程归算变形，可按式(10)计算：

(10)

式中观测边的平均大地高。

—长度所在方向参考椭球面法截弧的曲率半径;

D—实测水平距离

再将参考椭球面上的长度投影到高斯平面上产生的变形称高斯投影变形，可按式(11)计算

(11)

式中—测线在高斯平面上离中央子午线垂距的平均值

一测线两端平均纬度处参考椭球面的平均曲率半径

S—参考椭球面上的长度

这样，地面上一段距离经过两次改正，被改变了真实长度，这种高斯投影面上的长度与地面真实长度之差称为长度综合变形，可按式(12)计算：

(12)

为实际计算方便，又不至损害必要的精度，取，取不同投影面上的同一距离近似相等，即，写成相对变形的形式为：

（13）

公式(13)表明：采用国家统一坐标系统所产生的长度综合变形与测区所处投影带内的位置和测区平均高程有关，利用式(3.13)可以方便地计算出己知测区内长度相对变形的大小。

1.不同投影带的出现是因为选择了不同经度的中央子午线的缘故，如果我们合理选择中央子午线的位置，使长度投影到该投影带所产生的变形恰好抵偿这一长度投影到椭球面上产生的变形，则高斯平面上的长度也能够和实际长度保持一致，避免长度变形。我们称这种能够抵偿长度变形的投影带为“抵偿投影带”。令为零，可以计算出新投影带中央子午线离开测区中央的距离：

（14）

新中央子午线选定后，将平面已知点坐标进行换带计算，然后以换带后的已知点坐标为条件进行约束平差，这样求得的控制网各点坐标成果，在一定范围内投影变形可满足要求。

这种方法实质上就是用选取中央子午线最佳位置的方法来限制长度变形，保持国家统一的椭球面作投影面不变，不需计算新椭球参数，避免了复杂的计算。但经换带计算后，同一个点的高斯平面坐标值面目全非，与小比例尺图脱节，使用起来非常不便，同时为了使整个测区范围内的投影变形均小于规范要求，使测区面积受到很大限制。

2.根据长度变形相互抵偿的性质，如果适当选择参考椭球的半径，使长度投影到这个椭球面上减少的数值恰好等于这个面投影到高斯平面上增加的数值，那么高斯平面上的距离和实地距离就保持一致，这个适当半径的椭球就称为“抵偿高程面”。令为零，可以计算出抵偿高程面低于测区平均高程面的距离：

（15）

抵偿高程面选定后，计算出新的椭球参数，将作为控制网起算点的国家坐标系坐标转换到新的椭球面上，以新坐标为约束条件进行平差计算求出各待定点的坐标成果，在一定范围内长度变形得到有效消除。

这种方法不仅有效地处理了投影变形，而且使控制网坐标与原测区己有国家坐标相差不大，这是一种可行的处理变形的方法。值得注意的是，这种方法只考虑了长度投影变形，而方向仍采用椭球面上的方向，显然没有进行方向改化。因此，从理论上讲这种方法是不严密的，但若矿区不大，却也不影响成果的使用。但用这种方法处理投影变形，测区范围同样受到限制，且因需要计算新椭球参数，计算相对复杂。

3.中央子午线设在测区中央，长度归化到测区平均高程面上

这种方案既可使测区中央投影变形为零，又可保证在离中央子午线较大距离地区相对投影变形小于1/40000。对东西跨度百公里以上的特大区域，可以把中央子午线设在测区中央，同时选择一个合适的抵偿高程面，确保整个测区相对投影变形小于1/40000。

方法3是既改变投影带又改变投影面来限制长度变形，目的是为了克服方法2、方法1测区面积受限的缺点。但测区控制网坐标成果与测区周围国家点坐标很难建立联系。

3确定地方椭球

1.如果将WGS-84椭球称为E0椭球，将地方椭球称为E0椭球。此时的E1月椭球的中心与E0椭球重合，扁率相同，空间直角坐标系的三个坐标轴重合，只是将E0椭球的长半轴膨胀使参考椭球与当地投影面相切。

2.因为椭球中心及三个坐标轴重合，所以两个椭球的空间直角坐标是相同的。所以，先将WGS-84椭球的B，L，H转化为空间直角坐标，再将E0椭球长半径改变为，其中从是当地投影面高程。再将此时的空间直角坐标用瓦椭球的元素转化为B，L，H，此即为当地的大地坐标。