林文贤

（韩山师范学院数学与应用数学系，广东潮州 521041）

1 引言

为了统一微分和差分，1988年德国学者Stefan Hilger在他的博士论文[1,2]中首次提出了测度链微积分（The calculus of measure chains）.他的博士导师Bernd Aulbach教授指出，这种新的微积分有三个主要目的：统一、推广和离散化（Unification-Extension-Discretization）.而对于许多情况，只需考虑测度链（measure chains）的一种情形——时标（Time Scale）.一个时标指的是实数集ℝ的任一非空闭子集，它具有由ℝ诱导的拓扑以及ℝ中的顺序关系，通常用记号T表示.对于定义在T上的函数 y，考虑其上的所谓 Δ-导数 yΔ和n阶时标动力方程（Dynamic Equations on Time Scale）f(t,y,yΔ,yΔΔ,…,yΔn)=0.当T=ℝ为实数集时，这种导数 yΔ是通常的导数y′，这些动力方程即是微分方程；而当T=ℤ为整数集时，这种导数yΔ是通常的前差分Δy（the forward difference）这些动力方程则是差分方程.特别重要的是，除了T=ℝ和T=ℤ外，还有许多十分有趣的其它形式的时标，如T=qℤ:={qk|k∈ℤ}⋃{0}，其中 q＞1；T=hℤ:={hk|k∈ℤ}，其中 h＞0；其中a,b＞0；T={tk|k∈ℤ}，其中对所有k∈ℤ有tk∈R且tk＜tk+1.

这些时标给我们提供广泛的应用空间.需要强调的是：尽管微分方程和差分方程有许多类似的结果，但仍然存在大量本质上完全不同的性质和结论.

对时标理论（The theory of time scale）的研究，既是数学理论自身发展的需要，也是实际问题的需要.时标理论的研究不仅能把微分方程理论和差分方程理论很好地结合在一起，而且所有结果比微分方程和差分方程理论的更为广泛，它能够把这些古典情形扩充到“两者之间”，例如扩充到所谓的q-差分方程（在量子理论方面有重要的应用）.由于实际模型所对应的时标动力方程可解决把停止——开始行为和连续行为结合在一起的……