谭源源，张春华，陈循

(国防科学技术大学 机电工程与自动化学院，湖南 长沙410073)

0 引言

复杂机电产品通常存在多种失效模式，但各失效模式对产品可靠性的影响程度是不同的，而失效发生概率高的失效模式(即主要失效模式)的影响程度最大，因此主要失效模式分析在产品可靠性设计、试验中扮演着非常关键的角色。例如:在产品设计阶段，主要失效模式分析可以找出产品薄弱环节并进行相应改进，是失效模式影响分析(FMEA)的核心内容之一［1］;在对产品进行加速试验方案设计时，也需要分析主要失效模式，逐步缩小失效机理的分析范围，进而准确选定加速试验的应力［2］。

目前常用的主要失效模式分析方法可分为定性分析和定量分析。定性分析主要根据专家经验、类似产品情况等信息，分析产品潜在的失效模式，并分析哪些是主要失效模式。由于定性分析容易受到主观意愿的影响，分析精度有限，因此通常在失效数据匮乏的情况下(如产品设计阶段)采用。而当获取到产品的失效数据之后，可以采用定量分析方法进行主要失效模式分析，以提高分析精度。目前定量分析主要为频率分析方法［2－4］，即分析失效数据中各失效模式的失效个数占总失效数的比例，发生频率较高的失效模式即为主要失效模式。但是，由于频率分析的理论基础是大数定理，因此在数据样本量较少时并不是最优的定量分析方法。

针对这一问题，本文提出了基于Dirichlet 先验分布的Bayes 方法，适用于在小样本量场合找出机电产品的主要失效模式。最后通过Monte Carlo 仿真分析和应用算例验证方法的有效性。

1 主要失效模式定量分析的问题描述

设某产品共有M 种失效模式，编号分别为1，…，M.设失效模式d(d∈{1，…，M})导致产品失效的概率(即发生概率)为pd，则pd∈(0，1)，1.参数可表示p=(p1，…，pM).

假设对n 个产品的失效数据进行收集，由失效模式d(d∈{1，…，M})引起产品失效的个数为rd，则rd∈［0，n］且为非负的整数，数据可表示现根据数据进行分析，得到各失效模式发生概率(p1，…，pM)的估计值进而根据巴雷特原理确定整机的主要失效模式［5］，即按发生概率由大到小进行排列，累积发生概率0～80%的失效模式，归类为主要失效模式。例如，设失效模式1、2、3 的发生概率分别为30%、10%和60%，则主要失效模式为失效模式1 和失效模式3.

2 基于Dirichlet 先验分布的Bayes 分析方法

在小样本量的情况下，目前常用的频率分析方法精度很低，而Bayes 方法由于可以结合专家经验、类似产品情况等多源信息，显然更为适用。

2.1 Dirichlet 先验分布

为了能产生性质优良的先验分布，需要对参数p 做适当变换，令

显然可以得到:

例如，假设某产品有4 种失效模式，发生概率分别为:p1=0.3，p2=0.1，p3=0.4，p4=0.2，则U0=1，U1=0.7，U2=0.6，U3=0.2，U4=0.

(1)式称为顺序约束形式。对于此类形式，Mazzuchi 等［6］提出可以采用Dirichlet 分布来描述先验分布，即(U|Ip)服从顺序Dirichlet 分布

式中，c 和g=(g1，…，gM)为先验分布参数。

由Dirichlet 分布的性质可知，其各个边缘分布均为Beta 分布，即

顺序Dirichlet 分布实际上是一个多元Beta 分布，进一步由Beta 分布的性质可知

由(2)式和(6)式可以看出，参数gd实际上为根据先验信息Ip得到的pd估计值(^pd|Ip).参数c反映了技术人员对这些参数gd的确信程度，c 值大(小)则得到的先验标准差小(大)，从而说明对估计值的确信程度高(低)。

2.2 后验分布

失效数据r 的似然函数为

(7)式可化为

根据先验分布和似然函数，由Bayes 定理可知，(U1，…，UM－1)后验分布的核为

式中，I0= Ip∪r 为先验信息和失效数据的累积信息。

2.3 基于Gibbs 抽样的后验估计值计算

对于联合后验分布(9)式，很难采用数值积分的方法得到每个Ud的后验统计。因此，这里采用Gibbs 抽样方法计算后验统计(|I0)，进而求出pd的后验估计值(|I0).

Gibbs 抽样［7］是一种应用最广泛的MCMC 方法。它的基本思想是:从满条件分布中迭代的进行抽样，当迭代次数足够大时，就可以得到来自联合后验分布的样本，进而也得到了来自边缘分布的样本。

对于联合后验分布(9)式，若给定U(－d)={Uv|v≠d，v=0，1，…，M}，则π(U|I0)仅为Ud的函数，此时称π(Ud|U(－d);I0)为Ud的满条件分布。Gibbs 抽样过程如下:

设U(0)=(U(0)0，…，U(0)M)，其中，U(0)d，d =0，1，…，M 为任一初值。注意到U0≡1，UM≡0，因此在迭代过程中均保持不变。

Gibbs 抽样的关键在于如何从各个满条件分布抽样。实际应用中满条件分布往往不是标准分布函数，对其抽样存在一定困难，可采用标准取舍抽样［8］得到满条件分布抽样值，其步骤大致如下

步骤1 令d=1，…，M－1，分别从先验分布的满条件分布π(Ud|U(－d);Ip)中随机抽样Ud，其中

即其服从(Ud+1，Ud－1)上的Beta 分布，通过变量替换

则

(11)式Beta(·，·)为(0，1)上标准Beta 分布，直接抽样得到Ad，由(13)式反推得到Ud抽样值

步骤2 产生(0，1)区间均匀分布的随机数Unif.

步骤3 计算比率

步骤4 若Unif≤Ratio 则认为抽样值Ud来自满条件后验分布并接受;否则拒绝该抽样值，并重复以上步骤重新进行抽样。

通过以上方法进行迭代，假设从U(0)出发，Markov 链通过s(s ＜l)次迭代后，可以认为各个时刻的U(l)的边缘分布都是平稳分布π(U|I0)，则称抽样收敛了。之前的s 次迭代值因未收敛而应将其舍弃，而采用后面的l－s 个成熟数据进行估计

由以上Gibbs 抽样过程可以看出，判断抽样过程何时收敛是一个重要的问题。本文主要采用以下方法:每隔一定迭代次数计算一次(^Ud|I0)，观测是否已经收敛，当(^Ud|I0)稳定后，可认为Gibbs 抽样收敛了。

3 Monte Carlo 仿真分析

Monte Carlo 仿真分析的目的在于对频率分析和本文的Bayes 分析方法进行对比，分析这两种方法的优劣及其适用场合。

设某机电产品共有4 种失效模式，其发生频率真值p =(0.3，0.1，0.4，0.2).按发生频率真值采用Monte Carlo 仿真方法产生失效数据，方法如下:产生n 个(0，1)之间的均匀随机数，则失效数据r1，r2，r3，r4分别为随机数数值在(0，0.3］、(0.3，0.4］、(0.4，0.8］、(0.8，1)区间的个数。n 取5、30、100，分别属于样本量较小、适中和较大的场合;仿真次数NMC=200.根据仿真方案得出仿真数据，并利用上述2 种方法进行分析，得出各失效模式的发生概率估计值为对Bayes 方法作敏感性分析，先验分布参数取值分为8 种情况:a)～h)，g和c 的取值如表1所示。设参数g 的累计绝对误差则σ|a)=σ|b)=0，σ|c)=σ|d)=0.2，σ|e)=σ|f)=0.4，σ|g)=σ|h)=0.6，σ 越小，先验信息越准确。

采用NMC次累计绝对误差的均值

作为分析精度评价标准。显然，σMC越小估计值越准确，分析精度越高;反之越低。

表1 仿真分析结果Tab.1 Analysis results of Monte Carlo simulation

对表1的仿真结果进行分析:

1)敏感性分析。Bayes 方法的分析精度不仅与样本量有关，而且与先验分布参数的取值有关，即对先验分布参数具有一定的敏感性。

2)有效性分析。在样本量较小场合(如n=5)，Bayes 方法由于可以结合有用的先验信息进行分析，其分析精度比频率分析更高，表明了方法的有效性。

4 算例

设某型机电产品的潜在失效模式有4 种，编号分别为1～4.为对该产品进行加速贮存试验，首先需要进行主要失效模式分析，以便针对主要失效模式开展试验方案设计。

用于主要失效模式定量分析的失效数据r =(2，1，2，0)，是由本文第3 节的仿真方案产生的仿真数据。即4 种失效模式的发生频率真值p =(0.3，0.1，0.4，0.2)，真值对应的主要失效模式为失效模式1、3、4.

分别采用频率分析方法和本文的Bayes 方法进行主要失效模式分析。其中，Bayes 分析的先验分布参数则取3 000～10 000 次的Gibbs 抽样数据计算后验均值图1所示为U1的先验边缘分布π(U1|Ip)(均值和后验边缘分布π(U1|I0)(均值图2所示为U1后验边缘分布的抽样值。

图1 U1 的先验边缘分布和后验边缘分布Fig.1 Gibbs Sampling of marginal posterior distribution of U1

图2 U1 后验边缘分布的抽样值Fig.2 Marginal prior and posterior distributions of U1

分析结果如表2所示。由于失效数据r 属于小样本量场合，若采用频率分析方法，得到的主要失效模式为失效模式1、3，漏掉了失效模式4.按第3 节的分析结论，在样本量较小场合宜采用Bayes 方法进行分析，从而确定该产品的主要失效模式为失效模式1、3、4，这与真值对应的主要失效模式一致。

5 结论

本文提出了分析机电产品主要失效模式的Bayes 方法，通过Dirichlet 先验分布有效结合专家经验、类似产品情况等信息。Monte Carlo 仿真对比分析和算例结果表明:相对于目前常用的频率分析方法，Bayes 方法由于可以扩大信息量，在失效数据样本量较小场合更为适用。在实际应用当中应当根据样本量的充足程度，选择合适的分析方法。

表2 算例仿真数据和各失效模式发生概率分析结果Tab.2 Simulation data and analysis results on occur probability of each failure mode in example

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