朱兴文, 王彭德

(大理学院 数学与计算机学院, 云南 大理 671003)

0 引言

一个n阶符号模式矩阵矩阵P，若它的每一行和每一列上只有一个元素等于+，而其余元素都等于0，则称P为置换模式矩阵.若A,B, 是两个方符号模式矩阵，若存在置换模式矩阵P使得B=PAPT，则A,B是置换相似.一个置换模式矩阵或符号差模式矩阵中的某些(也可能是全部)非零元素用负元素代替而得到的符号模式矩阵，则称P为广义置换模式矩阵；若A=PBPT，则称符号模式矩阵A广义置换相似于符号模式矩阵B[3].

A是复m×n的矩阵，如果n×m的矩阵G满足(1)AGA=A；(2)GAG=G；(3)(GA)T=GA；(4)(AG)T=AG，则称矩阵G为矩阵A的Moore-Penrose逆.给定一个符号模式矩阵A，若存在数字矩阵B,C∈Q(A)，使得它们满足Moore-Penrose逆的(i),(j),…,(l)，则称A允许(i,j,…,l)-广义逆，记作G(i,j,…,l)，也就是A∈G(i,j,…,l)；若满足(1)和(2)，则称A∈G(1,2)；若满足(1)～(4)的所有等式，则称A∈G(1,2,3,4)，此时，我们说A允许A+[4].

一个符号模式矩阵A，若A=AT，则称A为对称符号模式矩阵.本文从对称符号模式矩阵的结构研究了符号模式矩阵的广义逆及其幂等性质；并将F. J. Hall, Z. Li和B. Rao等给出的关于非负符号模式矩阵的性质及结构[6]推广到了对称符号式矩阵.

1 引理

引理1.1[4,7]集合ID，SI，G(i,…,l) 在以下变换中是封闭的：(1) 符号差相似；(2) 置换相似；(3) 转置.

引理1.2[8]如果符号模式矩阵A∈ID,且在A2的运算中没有出现#元素，那么A∈SI, 且A的主对角线上的元素为非负元素.

引理1.3[5,7-9]符号模式矩阵A是n×n的不可约符号模式，且A∈SI，则有以下结论成立：

(1)A∈ID[7,9]；

(2)A=AT[8](A是对称符号模式矩阵)；

(3)A中没有零元素[5,8]；

(4)mr(A)=1[7].

2 主要结论

证明必要性：根据符号幂等的定义和引理1.1，显然成立.

为了讨论的方便，我们引入记号，用L表示定理2.1中符号模……