何改平

(1.西安电子科技大学理学院， 陕西 西安 710071；2.西安外事学院工学院， 陕西 西安 710077)

1 问题描述

对位于铁路线一侧的两个炼油厂进行成品油运输管道设计，并确定输送目的地——铁路线上的新建车站的位置，利用数学模型得出输油管线费用最少的最佳铺设路径.

需要解决的问题：针对两炼油厂到铁路线的距离和两炼油厂间的距离的各种不同情形，提出设计方案.在方案设计时，考虑不能有共用管线和能有共用管线及费用相同与不同的情形，并给出具体设计步骤.

2 问题分析

由题意可知，两个炼油厂在铁路一侧，同时在铁路线上建造一个车站，目的是通过数学模型得到一个成品油运输管线费用最省的设计方案.

问题分析：首先根据具体问题分成两种情况进行讨论.当油田设计院提出A、B两个炼油厂的成品油必须单独运输到车站的要求时，设计方案中不能有共用管线，这种情况可以根据“两点之间线段距离最短”的原理来设计管线布置方案.当油田设计院提出可以有共用管线时，可以建立直角坐标系，用解析的方法求出管线费用的表达式并求出最小值，也可以用数值方法中的遍历思想求出最佳设计方案.

3 模型假设

(1)假设铺设输油管线的海拔相同，施工便利.(2)假设输油管线铺设过程中不受地质与气候条件的影响.(3)假设输油管线可以随条件弯曲.(4)假设输油管线在运输中始终保持无泄漏、保温、压强正常、防腐的优良状态.(5)假设输油管线在市区铺设过程中拆迁工作可以顺利进行.(6)假设不考虑问题中出现其他费用.(7)假设铁路是直的.(8)假设城区与郊区的分界线是直线且垂直于铁路线.(9)假设车站可以建造在铁路线上的任何地点.

4 模型的建立及求解

4.1 解析模型

根据题目的要求建立如图1所示的模型.设定直角坐标系X-Y，X轴为铁路所在地，两个炼油厂位于坐标系的第一象限，A炼油厂坐落在Y轴的正半轴上，B炼油厂不会位于A炼油厂的左边，Q点为A炼油厂输油管线与B炼油厂管线的交汇点.P点为车站所在地，由于它一定位于铁路上，易知当y>0时，QP段为两个炼油厂共用的输油管线；当y=0时，没有共用的输油管线，所以两个炼油厂所生产的成品油都是单独输送到P.

易知，最优设计中的Q点一定位于图1所示的阴影区域内.设y2>y1，如图2所示，过A点作水平线与BJ交于I点，设有一点Q位于△ABI内，易证AQ1+BQ1

图1 输油管道解析模型示意图 图2 输油管道解析模型示意图( y2>y1)

根据具体的情况，以下分两种情况来讨论管线的设计问题.

4.1.1 不能有共用管线的情形

在某些情况下，A炼油厂的输油管不能与B炼油厂的输油管共用，所以管线设计中就不能出现共用的管线，这种情况下的管线设计如图3所示.作A点关于X轴的对称点A′，连接A′B交X轴于P点，易知AP=A′P，所以AP+PB=A′P+PB=A′B.由于两点之间线段最短，所以输油管线最短距离即为A′B之间的线段距离，此时的管线总造价为：

(1)

车站P的位置算法具体如下：

(2)

图3 不共用管线解析模型示意图 图4 共用管线解析模型示意图

4.1.2 可以有共用管线的情形

图4为这种情形的示意图，其中y≥0.图中AQ段、BQ段分别为炼油厂A和B的非共用输油管线，单价都为M1万元/km；QP段为共用的输油管线.由图4可得输油管线的造价为：

(3)

(1)对(3)式的x求偏导并令其为零可得：

θ1=θ2

(4)

所以在图4的阴影区域内存在这样一个Q点，使得计算出的W是x∈[0，x2]范围内的一个极值,它可能是如图5所示的两种情况之一.又当x=0时

图5 输油管道解析极值示意图

(5)

所以，W曲线在x=0附近是递减的，也就是说这是图5曲线a的情况，因此当θ1=θ2时，所对应的W是x∈[0，x2]范围内的最小值.

(2)对(3)式的y求偏导，且θ1=θ2, 令θ1=θ2=θ，所以

(6)

所以存在这样一个Q点，当它满足(6)式要求时，就使得计算出的W是y∈[0,min(y1,y2)]范围内的一个极值.同理可得，这点是W曲线上的一个最小值:

因此，当Q点满足以下两个要求时所对应的W值即为设计所要求的最小值.

(7)

下面计算满足上面条件(7)的Q点：

(8)

所以，将x,y代入(3)式中得到的W即为管线费用的最小值.

下面对于上述模型继续讨论：

由于(8)式中是大于等于0的，即y1+y2-x2tanθ≥0，又λ=2sinθ，所以

(9)

所以，上述模型成立的条件如(9)式所示.

(10)

因此模型解决具体问题的步骤如下：

(1)确定炼油厂A、B的具体位置以及共用管线及非共用管线的费用，计算出λ.

(2)看λ是否满足(9)式中的条件.

(3)如果λ满足(9)式的条件，则管线的最优设计为有共用管线的情况，依据(8)式计算出Q点的坐标，这样就给出了最优方案.

(4)如果λ不满足(10)式的条件，则管线的最优设计为无共用管线的情况，可按照前面的方法设计无共用管线的最优方案.

下面举2个具体的例子：

4.2 数值模型

4.2.1 不能有共用管道的情况

A点为A炼油厂所在地，B点为B炼油厂所在地，P点为车站所在地.AP为A炼油厂的输油管道，单价为m万元/km；BP为B炼油厂的输油管道，单价为n万元/km，可得如图6所示的输油管道的造价为:

当x∈[0,x2]时，在x轴上按一定的密度取一系列点，计算当P为这些点时的管道费用，比较这些费用可得出一个最小值.当取点的密度足够大时，这个最小值对应的P点即为车站的最佳地点，最佳设计方案的管线费用就是这个最小值.

图6 不共用管线数值模型示意图 图7 共用管线数值模型示意图

4.2.2 可以有共用管道的情况

A点为A炼油厂所在地，B点为B炼油厂所在地，Q点为输油管道交汇点，P点为车站所在地.AQ段为A炼油厂单独使用的输油管道，单价为m万元/km；BQ段为B炼油厂单独使用的输油管道，单价为n万元/km；QP段为共用的输油管道,单价为k万元/km，可得如图7所示的输油管道的造价为：

在有效区域内按照一定的密度取一定数量的点，取的点就为Q点，算出每点情况下的输油管道造价，分别比较这些点的造价可得出一个最小值.当这些点的密度取得足够大时，就可近似认为这个最小值点就是得出的最优点.

通过MATLAB编写计算程序，用数值解法再次求前面解析解法中的两个例子，得到的结果如下：

例1：x=18.660 0，y=9.226 0，W=193.923 0；例2：x=13.340 0，y=0，W= 216.333 1.

与解析解法比较，结果分别如表1、表2所示.

表1 例1结果比较

表2 例2结果比较

通过上面的比较可以看出两种模型的结果基本一样，所以两种模型都是正确的.

5 模型评价

本文通过建立解析模型与数值模型对输油管线的优化问题进行了求解，针对具体的问题即不能有共用管线与能有共用管线两种情况分别进行了分析.对于不能有共用管线的情况求解步骤比较简单，运用简单的几何原理即能解决问题.能有共用管线的求解步骤则相对复杂一些，根据是否满足一定的条件就可以判断出最优方案中是否有共用管线.得出判断后就可以依据相关的步骤求解出最优方案.该问题中，模型求解步骤清晰，简单易懂.数值模型求解问题要更为简单一些，在编写出的程序中设定好相关数据就能比较精确快速地得出最佳方案.

参考文献

[1] 叶德丰,严大凡. 输油管线工作状态的调节[M]. 北京：石油工业出版社,1989.

[2] 于润伟. MATLAB基础及应用[M]. 北京：机械工业出版社, 2008.

[3] 江晓银,周保平. 数学建模与数学实验[M]. 北京： 科学出版社,2010.

[4] 党林立,孙晓群. 数学建模简明教程[M]. 西安：西安电子科技大学出版社, 2009.