梁银双

(中州大学信息工程学院，郑州450044)

1．引言

人们在对非线性科学的研究中提出了孤子的概念。早在1834年，英国科学家Scott．Russel就发现了孤子水波，随着近代数学与物理的发展，人们在流体、等离子体、非线性光学、生物神经传播等一系列领域中，都观察到孤立子。孤立子理论已成为非线性科学的一个重要研究领域，它引起人们极大的兴趣。另一方面，这一理论又为非线性偏微分方程提供了求显式解的方法。如反散射方法［1］，变换方法［2］，Darboux变换方法［3］，Hirota双线性方法［4］，齐次平衡法［5］，分离变量法［6］，对称约束法［7］，Lie 对称法［8］等。其中，Darboux变换方法是一种自然而美妙的方法。它从平凡解出发，可以得到孤子方程的精确解。这些方法的发现和应用，使得大量的非线性偏微分方程得以成功求解。

2．Darboux变换的起源

1882 年，G．Darboux研究了一个二阶线性常微分方程(现在称之为一维Schrödinger方程)的特征值问题:

其中，u(x)是给定的函数，称为势函数，λ是常数，称为谱参数。Darboux发现了下面的事实:

设 u(x)和 φ(x，λ)是满足(2．1)式的两个函数，对任意给定的常数 λ0，令 f(x)= φ(x，λ0)，

即f(x)是(2．1)式当λ=λ0时的一个解。

这样，借助于f(x)=φ(x，λ0)所做的变换(2．2)将满足(2．1)的一组函数(u，φ)变化为满足同一方程的另一组函数(u′，φ′)。这就是最原始的Darboux变换:

(u，φ)→(u′，φ′)，在 f(x)≠0 处它是有效的。

3．Darboux变换的基本思路

Darboux变换的基本思路:利用非线性方程的一个解及其Lax对的解，借助于谱问题之间的规范变换，得

则这里所定义的函数 u′(x)和 φ′(x，λ)也满足(2．1)式，即到Darboux变换，然后通过代数运算及微分运算来得出非线性方程的新解和Lax对相应的解。

近年来，Darboux变换方法得到迅速发展，已成功地应用于求解一系列与特征值问题相联系的非线性孤子方程的显式解，发展趋势由一维到多维，由单一的孤子演化方程到耦合演化方程组。［9］Darboux变换的优点非常明显，只需作一次完全可积的线性方程组的求解，然后就可用代数运算来得到非线性孤子方程的新解。

4．KdV方程的Darboux变换

下面以KdV方程为例来说明方法。

关于φ的线性方程组

这里 u，φ 均为 x，t的函数。

命题 KdV方程(4．1)是方程组(4．2)的可积条件。

证明 由(4．2)的第一式得出φxx=(-λ-u)φ

由方程组(4．2)的第二式得

方程组(4．2)可积的充要条件是(4．3)与(4．4)相等，且对任意λ成立，则u需满足KdV方程(4．1)式。因此KdV方程(4．1)是方程组(4．2)的可积条件。同时方程组(4．2)也称为KdV方程的Lax对。

进一步验证还发现上述Darboux变换(2．2)也适用于KdV方程(4．1)。

即有如下定理:

定理 如果已知KdV方程的一个解u，通过解线性方程组(4．2)得到φ(x，t，λ)，取λ得一个值λ0，得到

由Darboux变换(2．2)就可获得KdV方程的一个新解u′，同时(2．2)中的φ′为相应的Lax对的解。

证明 设从KdV方程的平凡解u=0出发，此时线性方程组(4．2)可化为:

根据λ的取值分两种情况来讨论方程组(4．5)的解。

取 λ0=-1，则 f(x，t)= φ(x，t，-1)=ex+4t，lnf(x，t)=x+4t

代入 Darboux变换(2．2)得 u′=0。

其中，c1，c2为任意常数。

取 λ0=1，则 f(x，t)= φ(x，t，1)=cos(x+4t)，lnf(x，t)=ln cos(x+4t)

代入Darboux变换(2．2):

得:

其中u′(x)为KdV方程的一个新解，同时φ′(x，λ)为相应的Lax对的解。

［1］Ablowitz M J，Clarkson P A．Solitons＆nonlinear evolution equations and Inverse Scattering［M］．Cambridge University Press，1991．

［2］Rogers C，Schief W K．Darboux Transformations，Geometry and Mordem Applications in Soliton Theory［M］．Cambridge University Press，2002．

［3］Matveev V B，Salle A M．Darboux Transformation and Solitons［M］．Springer，Berlin，1991．

［4］Hirota R．The Direct Method in Soliton Theory［M］．Cambridge University Press，2004．

［5］范恩贵．齐次平衡法，Weiss-Tabor-Carnevale及Clarkson-Kruskal约化之间的联系［J］．物理学报，2000(49):1409．

［6］Lou S Y，Chen L L．Formal variable separation aproach for nonintegrable models［J］．J．Math．Phys，1999(40):6491．

［7］Lou S Y，Hu X B．Infinitely many Lax pairs and Symmetry constraints of the KP equation［J］．J．math．phys，1997(38):6401．

［8］Tu G Z．A new Hierarchy of Integrable Systems and Its Hamiltonian Structures［J］．Scientia．Sinica，1988，31(12):28．

［9］谷超豪，胡和生，周子翔．孤立子中的Darboux变换及其几何应用［M］．上海:上海科技出版社，1999．