梁银双

(中州大学信息工程学院，郑州450044)

1．引言

人们在对非线性科学的研究中提出了孤子的概念。早在1834年，英国科学家Scott．Russel就发现了孤子水波，随着近代数学与物理的发展，人们在流体、等离子体、非线性光学、生物神经传播等一系列领域中，都观察到孤立子。孤立子理论已成为非线性科学的一个重要研究领域，它引起人们极大的兴趣。另一方面，这一理论又为非线性偏微分方程提供了求显式解的方法。如反散射方法［1］，变换方法［2］，Darboux变换方法［3］，Hirota双线性方法［4］，齐次平衡法［5］，分离变量法［6］，对称约束法［7］，Lie 对称法［8］等。其中，Darboux变换方法是一种自然而美妙的方法。它从平凡解出发，可以得到孤子方程的精确解。这些方法的发现和应用，使得大量的非线性偏微分方程得以成功求解。

2．Darboux变换的起源

1882 年，G．Darboux研究了一个二阶线性常微分方程(现在称之为一维Schrödinger方程)的特征值问题:

其中，u(x)是给定的函数，称为势函数，λ是常数，称为谱参数。Darboux发现了下面的事实:

设 u(x)和 φ(x，λ)是满足(2．1)式的两个函数，对任意给定的常数 λ0，令 f(x)= φ(x，λ0)，

即f(x)是(2．1)式当λ=λ0时的一个解。

这样，借助于f(x)=φ(x，λ0)所做的变换(2．2)将满足(2．1)的一组函数(u，φ)变化为满足同一方程的另一组函数(u′，φ′)。这就是最原始的Darboux变换:

(u，φ)→(u′，φ′)，在 f(x)≠0 处它是有效的。

3．Darboux变换的基本思路

Darboux变换的基本思路:利用非线性方程的一个解及其Lax对的解，借助于谱问题之间的规范变换，得

则这里所定义的函数 u′(x)和 φ′(x，λ)也满足(2．1)式，即到Darboux变换，然后通过代数运算及微分运算来得出非线性方程的新解和Lax对相应的解。

近年来，Darboux变换方法得到迅速发展，已成功地应用于求解一系列与特征值问题相联系的非线性孤子方程的显式解，发展趋势由一维到多维，由单一的孤子演化方程到耦合演化方程组。……