刘 熠 刘 静

(湖南师大附中 湖南 长沙 410006)

在近三年高考全国理综卷Ⅰ和卷Ⅱ中的6道物理压轴题中有4份试卷的压轴题属于同一类题型——带电粒子在电磁场中的运动问题.这些试题经一次次的陈题翻新，从而转化为对粒子“源”问题的考查.该类题型受到广大高考命题专家的喜爱.现就高考试题中粒子“源”产生的带电粒子在磁场中的运动问题作一深入探讨与剖析，力求寻找解决此类问题的一些规律性的方法.

1 完全相同的粒子源问题

基本特点：每个粒子的质量、电性、电荷量以及速度都相同.

运动特点：它们垂直进入同一匀强磁场做匀速圆周运动的圆心和半径都相同.

问题提升：让有界磁场为特殊的圆形磁场，使得先后进入磁场的粒子在磁场中的圆弧轨迹部分重叠，长短不一，出现磁聚焦问题.

【例1】(2009年高考浙江理综卷第25题)如图1所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上.在xOy平面内有与y轴平行的匀强电场，在半径为R的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场.在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x轴正方向发射出一束具有相同质量m，电荷量q(q>0)和初速度v的带电微粒.发射时，这束带电微粒分布在0

(1)从A点射出的带电微粒平行于x轴，从C点进入有磁场区域，并从坐标原点O沿y轴负方向离开，求电场强度和磁感应强度的大小和方向.

(2)请指出这束带电微粒与x轴相交的区域，并说明理由.

(3)若这束带电微粒初速度变为2v，那么它们与x轴相交的区域又在哪里？并说明理由.

图1

求解思路展示

明确目标：确定带电粒子出磁场时的位置.

分析运动：各个粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径都相同但圆心不一样，其出磁场后做匀速直线运动.

思维监控:

(1)粒子在进入磁场前做匀速直线运动，说明受力平衡.

(2)粒子在进入磁场后,问题的难点在于确定轨迹圆的圆心和半径.

规律总结：此为磁聚焦问题.即如果在圆形匀强磁场区域的边界上某点向四周发射速率相同的带电粒子，且粒子在磁场中运动的轨道半径与磁场半径相同，那么，粒子射出磁场时运动方向一定相同.反之，粒子以相同速度平行射入这样的磁场，粒子就能汇聚于磁场边界上的某点.

解析：(1)本题考查带电粒子在复合场中的运动.带电粒子平行于x轴，从C点进入磁场，说明带电微粒所受重力和电场力平衡.设电场强度大小为E，由

mg=qE

可得

方向沿y轴正方向.

带电微粒进入磁场后，做匀速圆周运动，且r=R.如图2(a)所示，设磁感应强度大小为B.由

得

方向垂直于纸面向外.

图2

(2)这束带电微粒都通过坐标原点.从任一点P水平进入磁场的带电微粒在磁场中做半径为R的匀速圆周运动.如图2(b)所示，设P点与O′点的连线与y轴的夹角为θ，其圆心Q的坐标为(-Rsinθ，Rcosθ)，圆周运动轨迹方程为

(x+Rsinθ)2+(y-Rcosθ)2=R2

得

x=0

y=0

或

x=-Rsinθ

y=R(1+cosθ)

(3)带电微粒在磁场中经过一段半径为r′的圆弧运动后，将在y轴的右方(x>0)的区域离开磁场并做匀速运动，如图3所示.靠近M点发射出来的带电微粒在穿出磁场后会射向x轴正方向的无穷远处，靠近N点发射出来的带电微粒会在靠近原点处穿出磁场.

图3

所以，这束带电微粒与x轴相交的区域范围是x>0.

2 速度不同的粒子源问题

此类粒子源射出的粒子，它们的质量、电性和电荷量都相同，但是各粒子的速度不同，常常表现有速度大小不同，方向相同;或者速度方向不同，大小相同两种情形.

类型1:速度方向不同的粒子源问题

基本特点:每个粒子的质量、电性、电荷量均相同，速度的大小相同，但方向不同.

运动特点:它们垂直进入匀强磁场做匀速圆周运动的半径相同，圆心不同.

基本联系:粒子都从粒子源处开始做匀速圆周运动；圆心到源的距离都为圆周运动的半径.

(2)此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与y轴正方向夹角的取值范围；

(3)从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间.

图4

求解思路展示

明确目标：“仍在磁场中……”意味着粒子在磁场中的运动时间必大于t0，即粒子在磁场中做圆周运动的圆心角大于120°，关键是确定满足条件的最大圆心角和最小圆心角(易知最小圆心角为120°) .

关注联系：粒子都从原点O开始做半径相同的圆周运动，圆心的轨迹是以粒子源所在的位置为圆心，以R为半径的圆弧.

图5

解析： (1)如图5(a)所示，粒子沿y轴的正方向进入磁场，从P点经过，以OP的垂直平分线与x轴的交点为圆心，根据几何知识有

解得

由题意有

则粒子做圆周运动的圆心角为120°，周期为T=3t0.粒子做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，根据牛顿第二定律得

化简得

(2)仍在磁场中的粒子其圆心角一定大于120°，这些粒子角度最小时从磁场右边界穿出；角度最大时从磁场左边界穿出.角度最小时从磁场右边界穿出圆心角为120°，所经过圆弧的弦长与(1)中相等，穿出点如图6(a)M点，根据弦与半径、x轴的夹角都是30°，所以，此时速度与y轴的正方向的夹角是60°.角度最大时从磁场左边界N点穿出，半径与y轴的夹角是60°，则此时初速度与y轴的正方向的夹角是120°.所以，速度与y轴的正方向的夹角范围是60°～120°.

图6

类型2:速度大小不同的粒子源问题

基本特点:每个粒子的质量、电性、电荷量均相同 ，速度的方向相同，大小不同.

运动特点:它们垂直进入匀强磁场做匀速圆周运动的半径不同，圆心不同.

基本联系:粒子都从粒子源处开始做匀速圆周运动；圆心到源的距离随着速度的增大而增大.

(1)粒子a射入区域Ⅰ时速度的大小；

(2)当a离开区域Ⅱ时，a,b两粒子的纵坐标之差.

图7

求解思路展示

明确目标：“此时…… b也从P点沿x轴正向射入区域Ⅰ”意味着a在离开区域Ⅰ时,b开始射入区域Ⅰ. 要求“当a离开区域Ⅱ时，a，b两粒子的纵坐标之差”,一要确定a离开区域II时的位置，二要确定此时粒子b的位置.

分析运动：粒子a在组合场中的临界点速度不变，所画的圆弧为相切圆弧，磁场同向时是同一方向的相切圆，磁场反向时是异向相切圆，两个圆心的连线一定通过离开区域Ⅰ时的出射点.

关注联系：本题给定带电粒子在有界磁场中运动的入射速度的大小，其对应的轨迹半径也就确定了.但由于入射速度的大小发生改变，从而改变了粒子运动轨迹图，导致粒子的出射点位置变化.带电粒子在匀强磁场中做圆周运动，应抓住其运动轨迹的圆心、半径和圆心角3个关键点求解.

思维监控：在处理这类问题时重点是画出临界状态粒子运动的轨迹图(对应临界状态的速度的方向)，再利用轨迹半径与几何关系确定对应的出射范围.本题情境新颖，是对磁偏转问题的成功创新，全面地考查了学生综合运用力学、电磁学知识与方法及数学方法的能力，是一道能有效区分学生能力与智力的好题.涉及了带电粒子在复合场中的运动，洛伦兹力计算式，牛顿第二定律，向心力计算式，圆周运动的圆心及半径分析，粒子在磁场中的轨道半径计算，数学几何上的边角关系，圆心、圆弧与角度推导等.

解析：(1)如图8，设粒子a在Ⅰ内做匀速圆周运动的圆心为C(在y轴上)，半径为Ra1，粒子速率为va，运动轨迹与两磁场区域边界的交点为P′,由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得

(1)

由几何关系得

∠PCP′=θ

(2)

(3)

式中θ=30°，由式(1)～(3)得

(4)

图8

由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得

(5)

由式(1)、(5)得

(6)

C,P′和Oa三点共线，且由式(6)知Oa点横坐标

(7)

由对称性知，Pa点与P′点纵坐标相同，即

yPa=Ra1cosθ+h

(8)

式中h是C点的纵坐标.

设b在Ⅰ中运动的轨道半径为Rb1，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得

(9)

设a到达Pa点时，b位于Pb点，转过的角度为α.如果b没有飞出Ⅰ，则

(10)

(11)

式中，t是a在区域Ⅱ中运动的时间，而

(12)

(13)

由式(5)及式(9)～(13)得

α=30°

(14)

由式(1)、(3)、(9)、(14)可见，b没有飞出.Pb点的纵坐标为

yPb=Rb1(2+cosα)+h

(15)

可得，a,b两粒子的纵坐标之差为

(16)

3 质量不同的粒子源问题

基本特点：此类粒子源射出的粒子的电性、电荷量和速度都相同，它们的质量不同.其质量要么连续变化，要么以几个特定的值呈现出来.

运动特点：它们垂直进入同一匀强磁场做匀速圆周运动的圆心和半径都不相同.

基本联系：粒子都是从粒子源所在的位置开始做圆周运动，所以，圆心的轨迹是垂直初速度方向的一条线段.

【例4】(2010年高考全国卷Ⅱ)图9中左边有一对平行金属板，两板相距为d，电压为U；两板之间有匀强磁场，磁感应强度大小为B0，方向平行于板面并垂直于纸面朝里，图中右边有一边长为a的正三角形区域EFG(EF边与金属板垂直)，在此区域内及其边界上也有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面朝里．假设一系列电荷量为q的正离子沿平行于金属板面且垂直于磁场的方向射入金属板之间，沿同一方向射出金属板之间的区域，并经EF边中点H射入磁场区域，不计重力.

(1)已知这些离子中的离子甲到达磁场边界EG后，从边界EF穿出磁场，求离子甲的质量.

(3)若这些离子中的最轻离子的质量等于离子甲质量的一半，而离子乙的质量是最大的，问磁场边界上什么区域内可能有离子到达？

图9

求解思路展示

明确目标：确定出磁场时的位置.

分析运动：粒子在复合场中做匀速运动，然后以相同的速度垂直进入边界磁场做匀速圆周运动.

关注联系：粒子都从H点开始做圆周运动，圆心的轨迹是垂直初速度方向的一条线段，下端点为质量最轻离子的圆心，上端点为质量最重的乙离子的圆心.

图10

规律总结：带电粒子从某一点以方向不变而大小改变的速度(或质量改变)射入匀强磁场，在匀强磁场中做半径不断变化的匀速圆周运动.把其轨迹连续起来观察，好比一个与入射点相切并在放大(速度或质量逐渐增大时)或缩小(速度或质量逐渐减小时)的运动圆，如图10.解题时借助圆规多画出几个半径不同的圆，可方便发现粒子轨迹特点，达到快速解题的目的. 此题是通过改变粒子质量实现轨迹的变化,求解粒子运动过程中的临界条件.

解析：略.

4 小结

高考压轴题以带电粒子在电磁场中的运动为背景，主要涉及3种重要的运动形式，2种重要作用力(电场力、洛伦兹力)以及两大解题方法的综合应用.一般设置递进或并列的2～3小问，各小问间的难度递增，是整个理综中难度较大，综合性强，所占分值较重的题目，也是影响理综成绩高低的关键.

带电粒子在匀强磁场中受洛伦兹力做匀速圆周运动，根据这一特点该问题的解决方法一般为：一定圆心，二画轨迹，三用几何关系求半径，四根据圆心角和周期关系确定运动时间.其中圆心的确定最为关键，一般方法为：(1)已知入射方向和出射方向时，过入射点和出射点做垂直于速度方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨迹的圆心；(2)已知入射点位置及入射时速度方向和出射点的位置时，可以通过入射点做入射方向的垂线，连接入射点和出射点，做其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心.结合物体受力分析、数学知识、物理规律和方法综合解决问题.