张旭年

(新疆塔城地区第一高级中学 新疆 塔城 834700)

圆是最美的曲线.在同一平面内的两个圆有相交、相离、外切、内切和内含五种关系.在物理模型中这五种关系也很常见.在一次复习课上，笔者和学生一起分析了圆在物理习题中的应用.

1 内含

当两个圆的圆心之间的距离小于大圆半径与小圆半径之差的时候，两圆内含.

【例1】(2006年高考江苏卷第14题)如图1所示，A是地球的同步卫星．另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h．已知地球半径为R，地球自转角速度为ω0，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心．

(1)求卫星B的运行周期．

(2)如卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A,B两卫星相距最近(O,B,A在同一直线上)，则至少经过多长时间，它们再一次相距最近?

图1

解答：(1)由万有引力定律和向心力公式得

(1)

(2)

联立式(1)、(2)得

(3)

(2)由题意得

(ωB-ω0)t=2π

(4)

由式(3)得

(5)

代入式(4)得

2 相离

当两个圆的圆心之间的距离大于两圆半径之和的时候，两圆外离.

【例2】(2008年高考全国卷Ⅱ第25题)我国发射的“嫦娥一号”探月卫星沿近似于圆形的轨道绕月飞行.为了获得月球表面全貌的信息，让卫星轨道平面缓慢变化.卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球.设地球和月球的质量分别为M和m，地球和月球的半径分别为R和R1，月球绕地球的轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为r和r1，月球绕地球转动的周期为T.假定在卫星绕月运行的一个周期内卫星轨道平面与地-月连心线共面，求在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间(用M，m，R，R1，r，r1和T表示，忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影响).

图2

设探月卫星的质量为m0，万有引力常量为G，根据万有引力定律有

(6)

(7)

式中，T1是探月卫星绕月球转动的周期.由式(6)、(7)得

(8)

设卫星的微波信号被遮挡的时间为t，则由于卫星绕月做匀速圆周运动，应有

(9)

式中，α=∠CO′A，β=∠CO′B.由几何关系得

rcosα=R-R1

(10)

r1cosβ=R1

(11)

由式(8)～(11)得

(12)

3 外切

当两个圆的圆心之间的距离等于两圆半径之和的时候，两圆外切.

【例3】(2007年高考海南卷第4题)粒子甲的质量与电荷量分别是粒子乙的4倍与2倍，两粒子均带正电，让它们在匀强磁场中同一点以大小相等、方向相反的速度开始运动.已知磁场方向垂直纸面向里.以下4个图中，能正确表示两粒子运动轨迹的是

4 内切

当两个圆的圆心之间的距离等于大圆半径与小圆半径之差的时候，两圆内切.

【例4】在垂直于纸面的匀强磁场中，有一原来静止的原子核，该核衰变后，放出的带电粒子和反冲核的运动轨迹如图3中的a，b所示，由图可以判定

图3

A.该核发生的是α衰变

B.该核发生的是β衰变

C.磁场方向一定垂直纸面向里

D.磁场方向向里还是向外不能判定

解析：原来静止的核，放出粒子后，总动量守恒，所以粒子和反冲核的速度方向一定相反，从图3中可以看出在磁场中向同一侧偏转，由左手定则可以判断出它们必带异号电荷，所以,应为β衰变.由于不知它们的旋转方向，故无法判定磁场向里还是向外.

5 相交

当两个圆的圆心之间的距离大于大圆半径与小圆半径之差，并且小于两圆半径之和的时候，两圆相交.

【例5】(1999年高考全国卷第24题)如图4，虚线MN是一垂直纸面的平面与纸面的交线，在平面右侧的半空间存在一磁感强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向外.O是MN上的一点，从O点可以向磁场区域发射电荷量为+q，质量为m，速率为v的粒子.粒子射入磁场时的速度可在纸面内向各个方向.已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中给定的P点相遇，P到O的距离为L，不计重力及粒子间的相互作用.

(1)求所考查的粒子在磁场中的轨道半径.

(2)求这两个粒子从O点射入磁场的时间间隔.

图4

(13)

(2)如图5所示，以OP为弦画出两个半径相同的圆，分别表示在P点相遇的两个粒子的轨道，圆心和直径分别是O1，O2和OO1Q1，OO2Q2，在O处两个圆的切线分别表示两个粒子的射入方向，用θ表示它们之间的夹角，由几何关系可知

图5

∠PO1Q1=∠PO2Q2=θ

(14)

(15)

(16)

粒子1的运动时间

(17)

粒子2的运动时间为

(18)

其中T为圆周运动的周期.两个粒子射入的时间间隔

(19)

因

(20)

由式(13)、(19)、(20)得

通过这样的复习课，让学生在学习物理时，不再是紧锁眉头，而是喜笑颜开，因为他们在物理习题中发现了美，陶冶了情操.