金 鑫

（常熟市尚湖高级中学，江苏常熟 215500）

“洛伦兹力也会做功”悖论之剖析

金 鑫

（常熟市尚湖高级中学，江苏常熟 215500）

模型是实际物体（原型）或过程的近似，它仅突出物体或过程的主要特征，是一种科学的抽象.物理模型，具有鲜明的直观性、形象性，建立适当的物理模型，便于进行理论分析和研究.物理学中的规律、结论等都是通过对理想化的物理模型的分析和研究得出来的.同样，在我们平时的学习过程中，如果能恰当地构建物理模型，在物理模型的构建中分析处理问题，我们就能获得正确的认识和结论，就能很顺利地剖析一些比较难说清的悖论.反之，学生如果缺少一种将实际过程或问题模型化的习惯或能力，即对一个实际问题不会或不善于通过物理的思维或方法去抽象出一个典型的物理模型或过程去分析处理，往往会得出一个看似有道理，而事实上又明显与已有的规律相矛盾的错误观点.下面所举的 “洛伦兹力也会做功”悖论的得出就是如此.

在物理高考复习中，遇到这样一道习题：如图1所示，下端封闭、上端开口、高h＝5 m的内壁光滑的细玻璃管竖直放置，管底有一质量为m＝10 g、电荷量q＝0.2 C的小球.整个装置以v＝5 m／s的速度沿垂直于磁场的方向进入B＝0.2 T、方向垂直纸面向里的匀强磁场，由于外力的作用，玻璃管在磁场中的速度保持不变，最终小球从管口上端飞出.取g＝10 m／s2.求：（1）小球的电性；（2）小球在管中运动的时间；（3）小球在管中增加的机械能.

图1

但在反思解题的过程中，有学生提出，由于F＝qv B是洛伦兹力，根据前面所学知识，洛伦兹力不做功，所以，F＝qvB做功应该为零，机械能应该不增加；而事实上，小球在加速向上运动的过程中，机械能又的确增加了，所以得出，洛伦兹力不做功这句话是错误的，在这里，洛伦兹力确实做功了.因此得出这样的结论：洛伦兹力也会做功.

经过这位学生的这么一解释，其他学生一听，好象也很有道理，于是也就纷纷赞成了这种观点.这时，笔者没有立即对学生的认识作出否定的判断，而是在黑板上大大地写了一个“？”，错误到底出在哪里？

这时，笔者引导学生一起利用平时常用的逐点分析法，画出刚进入磁场的图形和以后的一些情况，构建情景模型，探究解题的方法，如图2所示.

图2

通过分析，我们不难发现，在刚进入磁场时，小球只受到两个力，即重力和洛伦兹力qv B（向上），通过计算，qv B＞mg，所以小球加速向上运动，一旦小球有了向上的速度，又由于在水平方向上，始终有一恒定的速度v，所以，在后来的任一时刻，小球的实际运动是水平方向上的运动和竖直方向上的运动的合运动，实际运动是一个曲线运动，任一时刻的速度沿曲线轨迹的切线方向，如图2中虚线所示.所以，根据左手定则可以判断，任一时刻，洛伦兹力的方向都垂直于这一时刻的速度方向（如图2所示），所以洛伦兹力仍不做功.那么小球在管中机械能为什么会增加呢？从对小球受力分析可知，小球只受3个力：重力G、弹力N和洛伦兹力F洛，又由于重力做功不改变物体的机械能，那么，小球的机械能的增加只能是由于弹力N做功引起的了.然而，弹力为什么会做功呢？由模型分析图可知，在任一时刻，小球所受的弹力N的方向都与相应时刻的速度方向的夹角小于90°，所以弹力对小球一直做正功，小球的机械能增加.

由以上分析可知，小球机械能的增加是由于弹力N对小球做功引起的，小球所受到的洛伦兹力并不做功.

那么，学生为什么会得出上述错误的悖论呢？笔者认为，原因主要有：（1）学生未能通过适当地构建过程模型来进行分析，从而导致过程分析模糊和思维的混乱；（2）在过程分析处理中，有两处错误的理解，其一误将一个力的分力当作一个实际存在的力.在力的分解中，“分解”只是一种处理问题的手段和方法，分力是一种实际不存在的假想的力.在学生的解答中，很显然，误将任一时刻的洛伦兹力的竖直方向上的分力qvB当成了一个实际的力了.其二误认为一个力的分力做正功时，这个力就做功.对于这道习题，学生在思维中，当判断出任一时刻洛伦兹力的竖直方向上的分力qv B做正功时，忽略了水平方向上的分力同时也做负功的情况.事实上，这两个方向上分力的合力即实际的洛伦兹力与速度垂直，是不做功的.因此，在这个过程中真正做功使机械能增加的是弹力N，只不过由于弹力的大小在不断的变化，所以可采用等效间接的求解方法.由于水平方向上物体做匀速运动，所以小球在水平方向上所受的合外力为零，不做功；在竖直方向上，小球所受洛伦兹力的分力大小为F＝qv B，是恒力，它所做的功为W＝Fh＝qvBh＝1 J.所以除重力之外的合外力所做的功为1 J，小球的机械能增加了1 J.

通过以上的举例分析，不难发现在解答实际的问题时，只要我们能够正确地构建出一个适当的物理模型，就会使得我们的分析更加形象而准确，就更加便于我们对疑点的分析与突破，最终将有利于我们对物理规律的深刻理解和牢固掌握.

2012－04－18）