袁学刚，杜雁芳，温瑶

（1.大连民族学院理学院，辽宁大连116605; 2.辽宁师范大学数学学院，辽宁大连 116029）

不可压缩超弹性球形结构的径向有限变形

袁学刚1，杜雁芳2，温瑶1

（1.大连民族学院理学院，辽宁大连116605; 2.辽宁师范大学数学学院，辽宁大连 116029）

早在1958年，Gent和Lindley［1］就通过实验观察到硫化橡胶中空穴突然形成的现象（也可见Williams和Schapery［2］）。橡胶和类橡胶材料是超弹性材料的典型代表，这类材料广泛应用于生物医学、航空航天和建筑工程等领域，所以由超弹性材料组成的各种结构的不稳定性问题引起了人们的普遍关注。1982年，Ball［3］应用非线性理论解决了空穴分岔问题，通过求解非线性微分方程模拟了均匀的各向同性弹性球体或柱体的内部有空穴生成的现象，并对某些特殊的超弹性材料中空穴的生成问题作了定性分析，从而奠定了分岔问题的理论基础。此后，Horgan和Abeyaratne［4］研究了预存微孔的快速增长，并将其解释为另一类分岔问题（也可见Sivaloganthan［5］），指出空穴是

研究了在表面拉伸载荷的作用下，各向同性不可压缩超弹性材料组成的球形结构的有限变形问题。首先利用不可压缩性条件及边界条件求得了拉伸载荷和球形结构内半径之间的关系，进而分别给出了4种球形结构（实心球体、预存微孔、球壳和球形薄膜）有限变形解的定性分析，最后结合数值算例详细讨论了材料参数和结构参数对球形结构径向变形的影响。

不可压缩超弹性材料;球形结构;有限变形;定性分析

本文研究了各向同性不可压缩超弹性材料组成的球形结构的径向有限变形问题。首先建立了不可压缩超弹性球形结构在给定的径向拉伸作用下球对称变形问题的数学模型，利用逆解法求得了拉伸载荷和球形结构内半径之间的关系。进而，分别对4种球形结构有限变形的解作了定性分析。对于由各向同性不可压缩Ogden材料组成的实心球体和含有预存微孔的球体，分别研究了当拉伸载荷达到临界载荷时，实心球体内部有空穴生成，预存微孔突然快速增长等问题;对于由各向同性不可压缩Mooney－Rivlin材料的组成的球壳和球形薄膜，验证了在表面拉伸载荷作用下，内半径随着拉伸载荷的增加而增加，且随着材料参数的增加，内半径快速增加等结论。

1 问题的数学描述

考虑由均匀的各向同性不可压缩超弹性材料组成的球形结构，结构的外表面受到给定均布的径向拉伸死载荷p0的作用。结构变形前、后的点的坐标分别为（R，Θ，Φ）和（r，θ，φ）。设未变形结构内部占有的区域为

式中，r（R）为待定函数，R1，R2分别表示球形结构的内外半径。当R1=0时，球形结构表示实心球体;当R1取值充分小时，表示中心含有微孔的球体;当R1取一定大的值时（即1＜R2/R1＜+∞），表示球壳;当R1与R2充分接近时（即R2/R1→ 1），表示球形薄膜。

根据球对称变形（2），变形张量的主伸长为

式中，W=W（λ1，λ2，λ3）为超弹性材料的应变能函数;p（R）为对应于不可压缩条件的静水压力，是待定函数。

忽略体积力的作用时，球对称变形假设下的结构满足的平衡微分方程为

假设球形结构的外表面受到均匀分布的径向拉伸死载荷p0＞0的作用，则边界条件为

另外，当球形结构内部含有空穴时，空穴表面无约束的条件为

式（3）、（4）、（5）及边界条件（6）、（7）组成了不可压缩超弹性球形结构的外表面在拉伸载荷作用下，球形结构径向对称变形的数学模型。

2 问题的求解

由不可压缩条件λ1λ2λ3=1及式（3）可得

式中，c≥0为待定常数，表示球形结构内半径的增长量。若c=0，表示变形后球形结构的半径没有增长;若c＞0，表示变形后球形结构半径的增长量为c。

将式（8）代入式（3），可得

3 几种球形结构有限变形解的定性分析

3.1 实心球体和含有微孔的球体

假设这两种球形结构由各向同性不可压缩Ogden材料组成，其应变能函数为［10］

式中，μ＞0为材料无穷小变形时的剪切模量，α＞0为材料参数。

3.1.1 实心球体

对于实心球体，有R1=0，方程（18）可以写为

在式（20）中，令x→0+，可得

式（21）给出了球体内部有空穴生成时的临界载荷的表达式。式（21）的右端是一个广义积分，由此可知临界载荷Pcr是否有限与材料参数α有着密切的关系。根据广义积分收敛性的判别法则可知，Pcr收敛当且仅当α＜3。

对于不同的材料参数α，给出了拉伸死载荷P与空穴半径x之间的关系，如图1。由图1可以发现，当α增加时，对应的临界载荷的值也相应的增加;当拉伸载荷P未达到临界载荷Pcr之前，无空穴生成;当拉伸载荷P达到或者超过临界载荷时，有空穴生成，且空穴半径x随着拉伸载荷的增加而增加。

图1 当α取不同值时，P与x的关系曲线

3.1.2 预存微孔

当球形结构为中心含有微孔的球体时，P与d的关系曲线如图2和图3（注:d=r（R1）/R2）。

图2 α=1.5时，P与d的关系曲线

图3 α=2时，P与d的关系曲线

由此可知，若δ（变形前的微孔半径与球体外表面半径之比）很小时，在拉伸载荷P达到某个临界值之前，微孔几乎没有增长;但是当其接近或者超过某个临界值时，微孔突然快速增长;通过对比图2和图3还可以发现，当材料参数α增加时，球体内部微孔发生显著变化的临界值也随着增加。因此，在表面拉伸载荷作用下，球体中微孔的增长受材料参数α和球体内外半径比值的影响较大。

3.2 球壳和球形薄膜

当球形结构分别为球壳和球形薄膜时，假设球形结构由各向同性不可压缩的Mooney－Rivlin材料组成，对应的应变能函数为［10］

式中，μ＞0为材料无穷小变形时的剪切模量，β＞0为材料参数。

描述球壳、球形薄膜P与d的关系曲线如图4和图5。由此可以看出，对于给定材料参数β，球体的内半径随着拉伸载荷P的增加而逐渐增加;δ（球体内半径与外半径的比值）越大，内半径的增长越快。

图4 表示球壳P与d的关系曲线

图5 表示球形薄膜P与d的关系曲线

4 结论

本文考虑了各向同性不可压缩超弹性材料组成的球型结构（实心球体、预存微孔、球壳和球形薄膜）的有限变形问题，利用不可压缩条件及边界条件求得了拉伸载荷和内半径之间的关系，通过对解的定性分析得到了如下结论:

（1）对于各向同性不可压缩的Ogden材料组成的实心球体，当拉伸载荷P超过临界载荷Pcr时，球体内部有空穴生成，且空穴半径x随着拉伸载荷的增加而逐渐增加;对于由这种材料组成的中心含有微孔的球体，在球体表面拉伸载荷作用下，拉伸载荷P达到某个临界值之前，微孔几乎没有增长;但是当其接近或超过某个临界值时，微孔突然快速增长，且球体内半径发生显著变化，临界值随着α的增加而增加，因此，球体中微孔的增长不但与材料参数有关，而且和变形前微孔半径与球体外半径的比值有关。

（2）对于各向同性不可压缩的Mooney－Rivlin材料组成的球壳和球形薄膜，随着拉伸载荷P的增加，内半径在逐渐增加;δ越大，内半径的增长越快。

［1］GENT A N，LINDLEY P B.Internal rupture of bonded rubber cylinders in tension［J］.Proc.R.Soc.Lond.Ser A，1958，249（1257）:289－296.

［2］WILLIAMS M L，SCHAPERY R A.Spherical flaw instability in hydrostatic tension［J］.Int.J.Fractrue Mechanics，1965，1（1）:67－71.

［3］BALL J M.Discontinuous equilibrium solutions and cavitation in nonlinear elasticity［J］.Philos Trans.R.Soc.Lond.Ser.A，1982，306（1496）:557－610.

［4］HORGAN C O，ABEYARATNE R.A bifurcation problem for a compressible nonlinearly elastic medium: growth of micro－void［J］.J.Elasticity，1986，16（2）: 189－308.

［5］SIVALOGANATHAN J.Uniqueness of regular and singular equilibria for spherically symmetric problems of nonlinear elasticity［J］.Arch.Rational.Mech.Anal，1986，96（2）:97－136.

［6］YUAN Xuegang，ZHU Zhengyou，CHENG Changjun.Study on cavitated bifurcation problem for spheres composed of hyper－elastic materials［J］.Journal of Engineering Mathematics，2005，51（1）:15－34.

［7］YUAN Xuegang，ZHANG Hongwu.Effects of constitutive parameters and dynamic tensile loads on radially periodic oscillation of micro－void centered at incompressible hyperelastic spheres［J］.Computer Modeling in Engineering＆Sciences，2009，40（3）:201－224.

［8］任九生，程昌钧.超弹性材料的不稳定性问题［J］.力学进展，2009，29（5）:566－575.

［9］REN Jiusheng.Dynamics and destruction of internally pressurizedincompressiblehyper－elasticspherical shells［J］.Internation Journal of Engineering Science，2009，47（7－8）:745－753.

［10］OGDEN R W.Large deformation isotropic elasticity:on the correlation of theory and experiment of compressible rubberlike solids［J］.Proc.R.Soc.London，Ser A，1972，328（1575）:567－583.

Radial Finite Deformation of Incompressible Hyperelastic Spherical Structures

YUAN Xue－gang1，DU Yan－fang2，WEN Yao1
（1.College of Science，Dalian Nationalities University，Dalian Liaoning 116605，China; 2.School of Mathematics，Liaoning Normal University，Dalian Liaoning 116029，China）

In this paper，the radial finite deformation problems are examined for spherical structures composed of isotropic incompressible hyperelastic material under tensile loads on their outer－surfaces.First of all，an exact relation between tensile load and inner radius of spherical structure is obtained by the incompressibility condition and the boundary conditions.Secondly，qualitative analyses are performed for solutions describing the finite deformation of the four spherical structures（i.e.，solid sphere，sphere with an initial micro-void，spherical shell，spherical membrane）.Finally，the effects of material parameters and structure parameters on radial deformation of spherical structures are discussed in detail by utilizing numerical examples.

incompressible hyperelastic material;spherical structure;finite deformation;qualitative analysis

1009－315X（2012）01－0033－04

2011－05－25

国家自然科学基金面上项目（10872045）;教育部新世纪优秀人才支持计划（CNET－09－096）;中央高校基本科研业务费专项资金资助项目（DC10030104）。

袁学刚（1971－），男，吉林桦甸人，教授，博士，学校优秀学术带头人，硕士生导师，主要从事非线性弹性材料和结构的有限变形问题研究。

O343

A超弹性材料中固有的非线性现象。近几年来，对于超弹性材料组成的球形结构的研究已经相当深入，如实心球体的空穴现象、球壳的膨胀、柱体的翻转和弯曲等等。其中，文献［6－7］研究了横观各向同性不可压缩的非线性弹性材料中空穴的静、动态生成以及预存微孔的增长及振动问题;文献［8］综合近年来的研究成果，对超弹性材料中的材料不稳定性问题的研究成果和最新进展进行了系统的评述，并且阐述了由Rivlin材料组成的各种球形结构的不稳定性问题的特点、问题的求解以及主要的结果;文献［9］研究了周期或者恒定内压作用下不可压缩neo－hookean材料组成的球壳的动力响应和破坏机理的问题。

（责任编辑 邹永红）