崔健伟

相对最大购买力数学模型自2002年10月发现至今，经过近十年历程。运用数学思想方法，通过概括、归纳、抽象和演绎的方式，发现并证明了相对最大购买力数学模型。

起初，从居民自然家庭的购房问题出发，发展到国家层面上的大家庭，并逐步推广到微观经济学和宏观经济学领域。随着研究的不断深入，由此推导出二元经济结构数学模型，并在一元经济结构的发达国家中得到证明。后来，将该数学模型进一步拓展到社会学领域。并运用西方数学公理化思想方法和对称原理获得最终的证明。

一、相对最大购买力数学模型的基本假设和创立

相对最大购买力数学模型的创立，最初源于研究居民的购房问题。其基本思路就是研究居民如何利用吃饭剩余的收入用来购买商品房。

恩格尔系数:食品支出与家庭消费支出总额之比。

和平发展时期，世界各国、各地区居民购房时，一般情况下，大多数购房家庭都要贷款或借钱。购房期间，没有多余的资金存款或其他大额消费。

因此，根据多数家庭的这一实际情况设定:购房居民的家庭年可支配收入全部用于消费和支出。这样将恩格尔系数中的家庭总消费支出，与居民家庭年可支配收入联系起来。

从而得出结论:居民家庭购房能力P与(1－当地的恩格尔系数)成正比，与家庭年可支配收入I成正比。即P∝(1－Eg)I

其中:P代表居民家庭相对购房能力;Eg代表当地的恩格尔系数;I代表居民家庭年可支配收入。

在深入研究人均GDP与居民家庭购买力的关系，以及居民家庭年收入与购买力的关系的基础上。得出居民家庭的购房能力P与家庭年可支配收入I成正比，与家庭人口M成反比的结论。即居民家庭购房能力P与购房家庭人均收入I/M成正比，即P∝I/M。

居民家庭年人均可支配收入，与购房所在地的人均GDP相比较，其比值的大小，反映出购房家庭在该地区的相对比重。也就是说，家庭人均收入与当地人均国内生产总值的相对比较值，反映出家庭购买力，在人均GDP不同地区的相对购买力变化的特征。即P∝I/(MGDP)。

不同地区、不同时间内居民的收入和购买力是不同的。不同地区、不同时间中的人均GDP也是不同的，将当地的人均GDP作为一把基本的、变化的尺度。利用这把当地变化的尺度，不仅能够衡量当地居民的可支配收入，而且能够衡量当地居民的购买力。利用人均GDP为尺度衡量出来的这种购买力，我们称为居民家庭的相对购买力。

用科学严谨的方法，抽象、概括、归纳出相对最大购买力数学模型，并且以定义的形式阐述居民家庭相对最大购买力数学模型①崔健伟:《关于家庭购房比价系数的研究及应用》，《山东大学学报(哲学社会科学版)》2003年第3期。。

家庭相对最大购买力数学模型的基本含义:

第一，将居民家庭年可支配收入全部用于消费和支出。

第二，表示居民家庭在当地扣除基本生活费用后，剩余的全部年购买力。即在一定的年代(时间)和地区(空间)，一个人口数量为M、年可支配收入为I的居民家庭，在当地经济发展水平(人均GDP)和当地居民生活水平(恩格尔系数Eg)下，形成的家庭相对最大购买力。

第三，对于低收入的家庭而言，相对最大购买力数学模型表现出以生存和消费为主的基本特征;对于高收入家庭而言，则反映出以发展和投资为主的基本特征。

第四，由于相对最大购买力与一个国家的人均GDP成反比，随着时间的推移，人均GDP在不断增大，单位货币的购买力在逐步减小。也就是说，随着时间的延续，单位货币存在逐渐相对贬值的基本特征。

居民的家庭可支配收入，与当地的经济发展水平和居民的生活水平相适应。可支配收入很高或者过低的特殊家庭，均不在本公式的计算范围内。

二、相对最大购买力数学模型在一元经济结构中的证明

2005年，爱因斯坦相对论发表100周年，联合国将这一年定为世界物理年，以纪念1905年爱因斯坦奇迹般地发表五篇论文。笔者有幸获得了一本2004年8月出版的《爱因斯坦传》，在该书中发现了爱因斯坦著名的质能方程一种全新的证明方法②鄂华:《爱因斯坦传》，长春:长春出版社，2004年，第150－151页。。

俄国物理学家列别捷夫在1899年(这时爱因斯坦刚刚20岁)通过实验证明了光压的存在，并证明了光压在数值上等于反射光能量的两倍除以光速。

即:

(其中:P为光压，E为光的能量，c为光速)

根据牛顿经典物理学理论:将一束光打在镜子上，则对镜子产生的光压为:

即 PΔt=mc－(－mc)=2mc

将Δt视为一个时间单位

则 P=2mc....⑵

其中:式⑴与式⑵相等

则 2E/c=2mc

得出: 爱因斯坦著名质能方程 E=mc2

该证明使我立刻意识到，这个世界如果没有爱因斯坦这位著名的大科学家，10年、20年、50年甚至100年以后，一定会有人通过这个方法推导出质能方程。

2006年底，我逐步认识到，如果质能方程E=mc2先成立，那么根据牛顿经典力学和逻辑推导，可以找出方程的一边，那是我们早已熟悉的牛顿经典力学;那么等式的另一边，就一定会出现光压为P=2E/c的关系式。这样反过来思考，如果E=mc2先成立，假设世界上没有俄国物理学家列别捷夫，也照样有人能够推导出光压P=2E/c这个等式。因此，面对相对最大购买力数学模型的证明，在经济学范围内，是否存在着像物理学上E=mc2质能方程这样的等式。2007年11月，在爱因斯坦相对论和质能方程的启发下，终于完成相对最大购买力数学模型在一元经济结构国家的证明。

按照现代工程学的误差处理原则，在工程学中，两个数值在5%的差值范围内视为相等的原则，笔者终于发现在宏观经济学中，一元经济结构发达国家的国民生产总值等于国内生产总值的客观事实。从而完成了相对最大购买力数学模型在一元经济结构国家中的证明，实现了相对最大购买力与绝对最大购买力在一元经济结构中的统一①崔健伟:《家庭、社会与购买力:相对最大购买力数学模型在经济学和社会学的应用》，济南:山东人民出版社，2009年，第121－128页。。不仅如此，这时，可以清晰地看出，这一理论体系的整体结构和总体框架。

关于相对最大购买力数学模型在一元经济结构国家中的证明，详见《家庭、社会与购买力》一书中的第三章第九节，相对最大购买力数学模型在宏观经济学中的证明。

三、运用数学公理化思想方法，完成相对最大购买力数学模型在二元经济结构中的证明

数学思想是对数学知识的本质认识，是对数学规律的理性认识。数学方法是人们在数学研究、数学学习和问题解决等数学活动中的步骤、程序和格式，是达到数学研究和问题解决的途径和手段。数学思想和方法通称为数学思想方法。数学思想方法的突破又常常导致数学知识的创新。数学思想方法比纯形式化的数学知识更重要，数学上的发现、发明主要是方法上的创新②傅海伦、贾冠军:《数学思想方法发展概论》，济南:山东教育出版社，2009年，第1－9页。。

所谓公理化思想，就是在一个理论体系中，由尽可能少的不加定义的概念出发去定义其他概念，并从一组不加证明的命题(公理或公设)出发，经过逻辑推理证明其他命题，把该体系建立成为一个演绎系统的一种思想。公理化思想是数学研究的一种基本方法，公理化思想是一种构建学科知识体系的基本思想，在学科发展史上具有重要的基础意义。公理化思想能超越当时实际理论，促进新理论的建立③傅海伦、贾冠军:《数学思想方法发展概论》，第74页。。

著名物理学家杨振宁在《对称与物理学》一文中，阐述对称与科学的关系时讲到，希腊人觉得对称是最高原则。在19世纪中叶，由麦克斯韦写成了方程式。到20世纪初，才发现这些方程式有个对称，现在叫洛伦兹对称④杨振宁:《对称与物理学，载霍金、杨振宁:学术报告厅——求学的方法》，西安:陕西师范大学出版社，2002年，第17－24页。。

20世纪，发现对称的重要影响的第一个工作是爱因斯坦做的。1905年，爱因斯坦在德国《物理学纪事》杂志上发表《论动体的电动力学》论文，提出狭义相对论。爱因斯坦发表这篇论文时，没有用“对称”这个名词。这篇论文中有很多公式，爱因斯坦并没有认识到这些公式与对称有关。有个数学家指出:“狭义相对论里的许多公式，用数学的眼光看起来是一个对称的结构。”从数学角度来看，狭义相对论的基本意义就是对称的观念⑤杨振宁:《20世纪理论物理学发展的主旋律》，载杨振宁、王选:《学术报告厅——科学的品格》，西安:陕西师范大学出版社，2003年，第7－8页。。

麦克斯韦方程和狭义相对论中都存在对称，量子力学的发展与对称原理有密切的联系。数学上利用正方形面积相等，推导证明勾股定理的过程，也是运用对称原理。对称与科学研究和发现有密切的关系，因此，对称原理是科学的基本原理。

同一时间内，一个地区或国家的国内生产总值相等的基本事实和客观存在，是不以时间(年代)和空间(区域)的不同，而建立在社会经济中左右对称的基础之上。也就是说，在人类社会经济体系中，在同一时间内，一个地区或国家的国内生产总值相等(GDP总值=GDP总值)是基本的左右对称，是不以时间(年代)和空间(区域)而改变的客观存在。

将一个国家或地区视为一个大家庭进行分析，二元经济结构国家或地区是由成千上万的城镇居民家庭和农村居民家庭组成。在二元经济结构国家或地区中，一般来讲，城镇居民和农村居民的人均GDP、恩格尔系数和人口是不相等的。二元经济结构国家或地区的国内生产总值，等于该国城镇居民人口M城镇与城镇居民的人均GDP城镇乘积;与农村居民人口M农村与农村居民的人均GDP农村乘积共同组成。

二元经济结构国家或地区的国内生产总值表示为:

其中:GDP城镇总值、GDP城镇分别表示为城镇居民的GDP总值和人均GDP;GDP农村总值、GDP农村分别表示为农村居民的GDP总值和人均GDP。

那么，在二元经济结构国家或地区中，城镇居民对应着这个国家或地区城镇居民的国内生产总值;农村居民对应着这个国家或地区农村居民的国内生产总值。从而形成由城镇居民和农村居民共同构成的一个二元经济结构国家或地区的国内生产总值。

由于二元经济结构国家或地区城镇居民与农村居民在人口、地域、收入、生活水平以及经济发展水平的不同，要想证明城镇居民的相对最大购买力与农村居民的相对最大购买力存在，必须将二元经济结构国家或地区中的城镇居民与农村居民相互分离，相互独立地进行分析和论证。

也就是说，将二元经济结构的国家或地区视为一个大家庭，现将这个大家庭分为由城镇居民组成的城镇家庭和由农村居民组成的农村家庭。这样就可以相互独立地进行数学分析和论证。在充分论证各自的相对最大购买力成立的基础上，再将两者相加，组成一个国家或地区二元经济结构的数学模型。

在宏观经济学中，由于一个国家存在着国内生产总值大于国民收入，国民收入大于居民可支配收入，即GDP总值＞NI＞I①［美］保罗·萨繆尔森:《宏观经济学》，北京:华夏出版社，1999年，第74页。。

其中，GDP总值代表国内生产总值，NI代表国民收入，I代表居民可支配收入。

以二元经济结构国家或地区城镇居民为研究对象，即以城镇居民家庭为研究对象。其中:M城镇代表城镇居民的人口;I城镇代表城镇居民的年可支配收入;Eg城镇代表城镇居民的恩格尔系数;GDP城镇总值代表城镇居民的国内生产总值;GDP城镇代表城镇居民的人均GDP。

二元经济结构国家中城镇居民的国内生产总值，等于城镇居民人口M城镇与城镇居民的人均GDP的乘积。

即存在GDP城镇总值=M城镇GDP城镇的关系式。

设城镇居民的国内生产总值GDP城镇总值，与城镇居民可支配收入I城镇之比为比例系数K城镇。比例系数K城镇，在不同时期、不同国家或地区对应着不同的数值。且K城镇＞1，即K城镇=GDP城镇总值/I城镇，

因此则有GDP城镇总值=K城镇I城镇的关系式。

根据数学公理化思想方法和对称原理。则存在城镇居民的国内生产总值相等的公理性等式和对称结构:

在和平发展时期，一般情况下，二元经济结构国家或地区的城镇居民的恩格尔系数都小于1。因此，则有(1－Eg城镇)＞0，将方程两边同乘(1－Eg城镇)I城镇，则有:

方程⑵两边同除M城镇GDP城镇

整理得出下列方程:

方程⑶的右边为(1－Eg城镇)I城镇，是二元经济结构国家或地区城镇居民可支配收入I城镇与(1－Eg城镇)的乘积，表示为二元经济结构国家或地区城镇居民在食品消费后剩余的总购买力。我们称作二元经济结构国家或地区城镇居民的绝对最大购买力，用P城镇绝对最大=(1－Eg城镇)I城镇表示。

方程⑶的左边是比例系数K城镇与(1－Eg城镇)I2城镇/M城镇GDP城镇的乘积。我们称 P城镇相对最大=(1－Eg城镇)I2

城镇/M城镇GDP城镇为二元经济结构国家或地区城镇居民的相对最大购买力。

由此，证明了相对最大购买力数学模型在城镇居民家庭中的客观存在。

方程⑶的左边也可表示为K城镇P城镇相对最大。

则方程变为:K城镇P城镇相对最大=P城镇绝对最大…… ⑷

同理证明:二元经济结构国家或地区中的农村居民家庭满足方程式⑸

即K农村P农村相对最大=P农村绝对最大…… ⑸

这样就用相同的方法，证明相对最大购买力数学模型在农村居民家庭中的客观存在。

因此，从数学公理化思想方法，以及数学、物理学的对称原理出发，从而证明了二元经济结构数学模型的客观存在，完成二元经济结构的数学证明。并且实现了相对最大购买力与绝对最大购买力在二元经济结构中的统一。

不仅如此，运用数学公理化思想方法和对称原理，也可以证明相对最大购买力数学模型在一元经济结构中成立。

相对最大购买力理论，揭示了人类社会经济发展的一般性的客观规律。这个一般性的客观规律是:居民家庭的相对最大购买力P，与(1－Eg)成正比，也就是说与(1－当地的恩格尔系数)成正比;与居民家庭年可支配收入I的平方成正比;与家庭人口M成反比;与当地的人均GDP成反比。

将二元经济结构中城镇居民的相对最大购买力，与农村居民的相对最大购买力相加，构成二元经济结构国家或地区居民的相对最大购买力。

二元经济结构国家或地区居民的相对最大购买力，等于城镇居民与农村居民的相对最大购买力之和。

二元经济结构数学模型数学表达式:

其中，P城镇、Eg城镇、I城镇、M城镇、GDP城镇分别代表城镇居民的相对最大购买力、恩格尔系数、年可支配收入、人口和人均GDP;

P农村、Eg农村、I农村、M农村、GDP农村分别代表农村居民相对最大购买力、恩格尔系数、年可支配收入、人口和人均GDP。

将城镇人口M城镇、恩格尔系数Eg城镇、年可支配收入I城镇、人均GDP城镇，以及城镇居民的相对最大购买力P城镇作为二元经济结构国家中的一元数学参数;

将农村人口M农村、恩格尔系数Eg农村、年可支配收入I农村、人均GDP农村，以及农村居民的相对最大购买力P农村作为二元经济结构中的另一元数学参数。

将代表城镇居民的一元数学参数，与代表农村居民的一元数学参数结合起来，共同组成一个国家或地区的二元经济结构数学模型①崔健伟:《家庭、社会与购买力:相对最大购买力数学模型在经济学和社会学的应用》，第201－203页。。

从这里可以看出:不仅自然科学中的物理学与对称有关;而且社会科学中的经济学也与对称有关。

四、相对最大购买力数学模型的思想与创意

相对最大购买力数学模型，是在居民家庭购房的特定条件下建立的，其基本假设是:当居民购买商品房时，将其家庭当年扣除基本生活费用后，剩余的全部可支配收入都用于购房。将相对最大购买力数学模型扩大到整个国家时，在一个国家中，对于成千上万的居民家庭而言，当年购房的居民家庭占全国居民家庭的比例较少。况且整个国家的全体居民，不可能将当年的全部可支配收入消费掉，其吃饭剩余的钱(收入)，还要进行储蓄或投资。因此，无论是一元经济结构的发达国家，还是二元经济结构的发展中国家，居民的实际年购买力，应小于该国居民的年绝对最大购买力P绝对最大，而更接近于这个国家居民的年相对最大购买力P相对最大。通常用GDP表示人均国内生产总值，即人均GDP。相对最大购买力数学模型通常表示为P=(1－Eg)I2/MGDP。

这里可以清晰地看出:由于M(人口)和人均GDP在方程的分母上，表明人口M和人均GDP，既是家庭可支配收入的尺度，也是家庭相对最大购买力的尺度。

应用数学公理化思想方法和现代工程学中的近似原则，在一元经济结构的发达国家中，完成相对最大购买力数学模型在一元经济结构中的证明。运用数学公理化思想方法和对称原理，证明了二元经济结构国家居民的相对最大购买力客观存在，并证明了二元经济结构数学模型的成立。

不仅如此，这时可以清晰地看出这一理论体系的整体结构和总体框架。相对最大购买力数学模型将时间(年代)、空间(国家或地区)、人口、收入与购买力统一起来。在社会学中，通过该数学模型可以确定人类社会发展进程和社会形态变化的坐标原点，使得人类社会发展进程和社会形态能够在数学上进行比较。

相对最大购买力数学模型在房地产经济学、微观经济学、宏观经济学以及社会学等领域得到应用，而且已经解决了一系列实际问题，并解释了一系列社会客观现象。

中国数学思想方法是以解决问题为主;西方数学思想方法是以数学公理化思想为主。从相对最大购买力数学模型的创建、推理、证明和应用的历程来看，首先在小家庭——自然家庭层面，为了解决居民的购房问题;然后在大家庭——国家层面，是为了解决“三农”问题，最后是寻找经济学的一般性规律和数学公理化证明。

利用现代物理学知识和现代工程学理论加以阶段性证明，运用西方数学思想方法、公理化思想和对称原理，加以最终的证明。因此，创建以相对最大购买力为核心的理论体系，是运用中国数学思想方法与西方数学思想方法的统一。

中国数学思想方法与西方数学思想方法，是一个问题的两个方面。就好像一座高山的东西两面，在高山的底部，两侧相距甚远，无论从高山的东侧，还是从高山的西侧，都能够达到光辉的顶点，都能够登上科学的顶峰。