崔保军

(甘肃民族师范学院数学系，甘肃合作 747000）

关于不定方程x2+4n=y5

崔保军

(甘肃民族师范学院数学系，甘肃合作 747000）

用代数数的方法证明了不定方程 x2+4n=y5仅有解(n，x，y)=(5m，0，4m)，(5m+2，±25m+2，2·4m).

不定方程;整数解;整环

设A，B∈N，A无平方因子，关于不定方程:

的解的讨论是数论中的一类重要课题.当 A=1，B=1时，Lebesgue［1］证明了(1)无整数解.Nagell［2］证明了当A=2，B=1，n=5时，方程(1)仅有整数解(x，y)=( ±11，3).文献［3］给出了 x2+4n=y3在 2|n 时的整数解.本文利用代数数论的方法证明了不定方程 x2+4n=y5仅有解(n，x，y)=(5m，0，4m)，(n，x，y)=(5m+2，±25m+2，2·4m).为此，先引入引理

引理1 不定方程2m－1=5z2仅有解m=0，z=0;不定方程2m+1=5z2仅有解m=2，z=1.

证明:对于不定方程2m－1=5z2，若m≥2，两边取mod 4，得－1≡1(mod 4)，可知此时方程无解;m=1时也无解.故该方程仅有解m=0，z=0.

同理可证不定方程2m+1=5z2仅有解m=2，z=1.

引理2［4］设 M 是唯一分解整环，正整数 k≥2，以及 α，β∈M，(α，β)=1，那么若 αβ = γk，γ∈M，则有 α=ε1μk，β =ε2νk，μ，ν∈M，其中 ε1，ε2是 M 中的单位元素，并且 ε1ε2=εk，ε 为单位元素.

定理1 不定方程:

仅有解(n，x，y)=(5m，0，4m)，(5m+2，±25m+2，2·4m)(m∈N).

证明 首先考虑x≡1(mod 2)的情况.在Z［i］中式(2)可以写为(x+2ni)(x－2ni)=y5，x，y∈N.设 δ=(x+2ni，x －2ni)，由 δ|(2x，2·2ni)=2，知 δ只可能是1，1+i，2.因 x≡1(mod 2)知 x+2ni≡1(mod 2)，所以δ≠2:如果 δ≠1+i，则 N(1+i)|N(x+2ni)，即2|x2+4n，但 x≡1(mod 2)，产生矛盾.因此 δ=1，由此及引理2知:

因而有:

由式(4)有 b= ±1，±2t，±2n，其中 t∈N，1≤t≤n －1.以下就 b的取值情况分别讨论方程(2)得解.

若 b= ±1，则 ±2n=5a4－10a2+1，即5(a2－1)2=4±2n.因2|4 ±2n，此时有 a=0 或 a≡1(mod 2)，由式(4)推得x≡0(mod 2)，这与x≡1(mod 2)矛盾.

若 b= ±2t，则有 ±2n－t=5a4－10a24t+42t，即4·42t±2n－t=5(a2－4t)2，此时必有 a≡0(mod 2)，得到 x≡0(mod 2)，这也与x≡1(mod 2)矛盾.

若b= ±2n，则有±1=5a4－10a24n+42n，即4·42n±1=5(a2－4n)2，由引理1可知此时方程也无解.

再考虑x≡0(mod 2)的情况，此时y也是偶数.由对x≡1(mod 2)的情况的讨论知，只需考虑(x，4n)=2n.

1)若 n=5m，令 x=25mx1，y=4my1，则方程(2)变为 x21+1=y51.由对 x≡1(mod 2)，n=0 的讨论知必有 x1=0.推知此时方程(2)仅有解 x=0，n=5m，y=4m.

2)若 n=5m+1，令 x=25m+1x1，y=2·4my1，则方程(2)变为 x21+1=8y52，由于 x1为奇数，取 mod 8，知此时方程(2)无解.

3)若 n=5m+2，令 x=25m+2x1，y=2·4my1，则方程(2)变为:

根据文献［4］上面的结果可写成 x1+i=(1+i)(a+bi)5，x1，a，b∈Z.

即1=a5+5a4b－10a3b2－10a2b3+5ab4+b5=(a+b)［(a+b)4－20a2b2］.

有第一式知 a+b= ±1，(a+b)4－20a2b2= ±1，因而必有 ab=0，由此解出 a=0，b=1;a=1，b=0，在由第二式知x1= ±1，进而得到方程(2)的解为n=5m+2，x= ±25m+2，y=2·4m.

4)若 n=5m+3，令 x=25m+3x1，y=4m+1y1，则方程(2)变为 x21+1=16y51.由……