董化玲，董立华，刘艳芹

(德州学院数学系，山东 德州 253023）

二重积分的“变量替换”问题*

董化玲，董立华，刘艳芹

(德州学院数学系，山东 德州 253023）

二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的一个重点，变量替换法是计算二重积分的重要方法.新变量的选取是否恰当是简化积分运算的关键.结合例题，从简化被积函数及积分区域方面较详细地介绍了新积分变量的选取方法.

二重积分;积分变量;变量替换

多元函数微积分学在几何、物理和力学等方面都有着重要的应用，熟练掌握二重积分的计算是教学大纲的基本要求之一.二重积分的计算关键在于掌握方法和技巧，有些二重积分的被积表达式很复杂，积分难以算出;有些二重积分的区域较复杂难以按一定的方法和步骤化成两次定积分，这时采用变量替换法会使问题简化.但教学过程中发现，学生往往不知何时用变量替换，或者不会替换，或者对相应的积分区域想像不出.作者就该问题的解决，结合教学实践谈几点看法.

1 变量替换与“条件反射”

定理1［1］设f(x，y)在有界闭区域D上可积，变换T:x=x(u，v)，y=y(u，v)将uv平面由按段光滑封闭曲线围成的闭区域Δ一对一的映成xy平面的闭区域D，函数x(u，v)，y(u，v)在Δ内都具有一阶连续偏导数，其函数行列式为:

则:

式(1)叫做二重积分的变量替换公式.

在式(1)中我们看到积分区域从xy平面的D变成了uv平面的Δ，这里的两个平面都是直角坐标平面.但当变换为

2 新积分变量的选取原则

在二重积分的……