许也平

（杭州广播电视大学，浙江杭州 310012）

一类半正二阶三点边值问题正解的存在性

许也平

（杭州广播电视大学，浙江杭州 310012）

研究了一类半正二阶非线性常微分方程的三点边值问题正解的存在性，利用Krasnosel'skii锥拉伸锥压缩型不动点定理得到了正解存在的两个充分条件.

半正；三点边值问题；正解；存在性；不动点定理

1 引言及引理

非线性常微分方程边值问题是微分方程领域中的一个重要研究课题，在非线性扩散气体动力学、流体力学等学科中有重要应用.近年来，许多作者研究了非线性常微分方程三点边值问题正解的存在性［1－5］.文献［1，4－5］中研究的都是非线性项非负的情形，该文讨论下列非线性二阶三点边值问题

正解的存在性，其中λ＞0，0＜η＜1，0＜α＜1.

g∈C（［0，1］×［0，∞），R），且存在M＞0使

而由式（3）知问题是半正的，关于半正二阶三点边值正解存在性问题的研究较少.最近文献［6］研究了一类非线性二阶三点边值问题

其中λ＞0，α＞0，0＜η＜1/α.文献［7］研究了一类非线性二阶三点边值问题

其中λ＞0，0＜η＜1，0＜α＜1.受文献［6－7］的启发，在此研究半正问题（1）正解的存在性.注意到该文的方程与文［6］相同而边值条件与文［7］相同.该文的目的是证明，若f在无穷远处是超线性（或次线性）的，那么当λ充分小（或充分大）时边值问题式（1）至少有一正解.这里正解是指满足u（t）＞0，∀t∈（0，1）的解.下面的Krasnosel’skii锥拉伸锥压缩型不动点定理在该文中起关键作用.其证明可参见文献［8］.

定理1 设E是Banach空间，K⊂E是E中的锥.假设Ω1及Ω2是E的开子集，0∈Ω1且⊂Ω2.T：K∩＼Ω1）→K是全连续算子.如果以下两条件之一成立：

（1）Tu≤u，∀u∈K∩∂Ω1；Tu≥u，∀u∈K∩∂Ω2.

（2）Tu≤u，∀u∈K∩∂Ω2；Tu≥u，∀u∈K∩∂Ω1.

那么T在K∩＼Ω1）中至少有一个不动点.