屈寅春，魏俊潮，李立斌

（1.无锡职业技术学院，江苏无锡 214073；2.扬州大学数学科学学院，江苏扬州 225002）

幂等可换化子环

屈寅春1，2，魏俊潮2＊，李立斌2

（1.无锡职业技术学院，江苏无锡 214073；2.扬州大学数学科学学院，江苏扬州 225002）

借助幂等元，介绍了环R的幂等可换化子环ZE（R）.利用ZE（R）的性质，讨论了一个环成为Abelian环的条件.并证明了如下结果：设a∈ZE（R），若a在R中是von Neumann正则元，则a在ZE（R）中也是von Neumann正则元，从而得到VNL－环的幂等可换化子环ZE（R）也是VNL－环.

幂等元；幂等可换化子环；von Neumann正则元；VNL－环

0 引 言

该文中，R表示有单位元的结合环，E（R）表示R的全体幂等元的集合.环R的一个元a称为von Neumann（强）正则元［1］，若存在b∈R，使a＝aba（a∈a2R∩Ra2）.一个环R称为von Neumann（强）正则环［1］，若R的每个元都是von Neumann（强）正则元；一个环R称为n－正则环［2］，若R的每个幂零元都是von Neumann正则元.一个环R称为VNL－环［3］，若对每个a∈R，a与1－a中至少有一个为von Neumann正则元.可见，von Neumann正则环为VNL－环和n－正则环.一个环R称为约化环［4］，若R没有非零的幂零元素.一个环R称为Abelian环［5］，若R的每个幂等元都是中心元，由文献［2］可知，一个环R为约化环当且仅当R为n－正则环和Abelian环.

根据文献［6］，一个环R称为exchange环，如果对每个x∈R，存在e∈E（R），使得e∈xR，1－e∈（1－x）R；一个环R称为clean环，如果R的每个元素都是一个幂等元和一个可逆元的和.文献［6］指出clean环是exchange环，但反过来是否成立还是一个未解决的公开问题.宇化平在文献［7］中指出Abelian的exchange环是clean环，且在文献［8］中，他又证明了左quasi－duo的exchange环是clean环.一个环R称为quasi－normal环［9－10］，若对于每个e∈E（R），总有eR（1－e）Re＝0.易见，Abelian环是quasi－normal环.文献［9］中证明：quasi－normal的exchange环为clean环，从而推广了宇化平［7］的结果.

一个环R称为Weakly－normal环［11］，若对每个a∈R，e∈E（R），若ae＝0，则对每个r∈R，Rera是指零左理想.［11，定理3.5］指……