●(成功中学 安徽马鞍山 243000)

运用广义对称妙解竞赛题
——2011年全国初中数学竞赛压轴题的解法探究

●汪宗兴(成功中学 安徽马鞍山 243000)

数学家波利亚在其著作《怎样解题》中给出一个宏观的解题程序，分成4步：弄清题目、拟定计划、实现计划、回顾(即解题后的反思)．波利亚重视解题后的思考，把其作为数学解题的一个重要步骤，他认为一个问题解决后，解题者应该考虑有没有其他的解题方案，有没有更一般的或特殊的结论．笔者欲尝试运用波利亚的解题表，现结合2011年全国初中数学竞赛的压轴题，谈谈笔者的收获.

(2011年全国初中数学竞赛试题)

图1

图2

为表述方便，现将以下结论作为引理：

引理在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2AC，则△ABC是直角三角形且∠ACB=90°．

证法1如图2，取AB的中点D，连结CD.由AB=2AC，得

AC=AD=BD.

又∠BAC=60°，知△ACD是等边三角形，从而

因此△ABC是直角三角形，此时

证法2如图3，延长AC至点D，使DC=AC，连结BD．由

AD=2AC=AB，

及∠BAC=60°，可知△ABD是等边三角形，由等腰三角形的“三线合一”性质可得BC⊥AC，此时

图3

思路探索由引理和△ABC边、角的数量关系可知，任求出一条边的长度即可求出该三角形的面积．已知长度的3条线段PA,PB,PC有公共的端点P，如何发挥这个条件的作用呢？考虑到这是一个特殊的直角三角形，给出长度的3条线段有公共端点这一特点，联想类似的问题：利用旋转求角度，如已知正方形内一点到3个顶点的距离，求角度；已知等边三角形内一点到3个顶点的距离，求角度．根据解题经验，首先考虑利用旋转变换解决此题.初步思考，因图中找不到相等的线段，故不具备……