●(诸暨市天马高级中学 浙江诸暨 311800)

探究2011年浙江省数学高考解析几何试题的来源及解法

●王铁松(诸暨市天马高级中学 浙江诸暨 311800)

2011年浙江省数学高考理科卷的解析几何试题在直线方程表达上对学生的要求达到了前所未有的高度.笔者将对这一试题追根溯源并给出新的解法.

1 试题溯源

图1

图2

例1如图1，已知抛物线C1:x2=y，圆C2:x2+(y-4)2=1的圆心为点M.

(1)求点M到抛物线C1的准线的距离；

(2)已知点P是抛物线C1上一点(异于原点)，过点P作圆C2的2条切线，交抛物线C1于点A，B，若过点M，P的直线l垂直于AB，求直线l的方程.

(2011年浙江省数学高考理科试题)

本试题的雏形出现在1999年浙江省数学会考中：

例2如图2,已知点F(0,1),直线l:y=-2,及圆C:x2+(y-3)2=1．

(1)若动点M到点F的距离比它到直线l的距离小1，求动点M的轨迹E的方程.

(2)过轨迹E上一点P作圆C的切线，切点为A,B．要使四边形PACB的面积S最小，求点P的坐标及S的最小值．

(1999年浙江省数学会考试题)

会考卷的命题重心在于探究轨迹方程及通过圆几何关系的等价转换变为求动点到圆心距离的最小值，其对直线方程的要求几乎为零.

试题的另一个来源是2008年全国高中数学联赛试题：

例3如图3，P是抛物线y2=2x上的动点，点B,C在y轴上，圆(x-1)2+y2=1内切于△PBC，求△PBC面积的最小值．

(2008年全国高中数学联赛试题)

图3

图4

例1与例3的不同点在于切线是与直线相交还是仍与抛物线相交，但都对从一点发出2条切线及其方程的表达上提出了较高要求.注意到在2011年浙江省数学高考文科卷中，命题者给出的也是与直线相交的问题，与例3同出……