● (奔牛高级中学 江苏常州 213131)

这个高考题怎么能不轻松拿下

●蒋亦万姝玮(奔牛高级中学 江苏常州 213131)

2011年江苏省数学高考试卷的最大特点之一是难易分明.在解答题部分，大部分学生从第18题的第(3)小题开始就做得很辛苦.从学生的反馈情况来看，数学水平差一点的学生不会做，大部分学生做得模模糊糊，少数比较优秀的学生做得很彻底、心中很踏实.当笔者尝试独立求解之后，很是震惊，此题多么常规、典型，是专题讲解的圆锥曲线问题呐！怎么可以不快速、简捷地拿下呢？

图1

(1)(2)略；

(3)对任意k>0，求证：PA⊥PB．

(2011年江苏省数学高考试题)

方法1由题意，设直线PA的方程为y=kx，与椭圆方程联立方程组

得点A,P的坐标.由点P的坐标求得点C的坐标，从而得到直线AC的方程，再与椭圆方程联立求得点B的坐标.

注方法1虽然思路简单，但可以预见运算复杂，应慎重实施，考虑有没有更简洁的方法.

方法2大胆设点，引入多个变量，最后处理一个多元问题.尝试求解如下：

由题意设P(x0,y0),B(x1,y1),x0>0，y0>0，则点A的坐标为(-x0,-y0),点C的坐标为(x0,0).由点A,C,B共线知，

点P,B在椭圆上，从而

式(2)-式(3)得

即

结合式(1)得

从而

将以上分析过程稍加整理就是第(3)小题的证明.

学生为何不用方法2求证？笔者分析有以下原因:

一是学生缺乏“主动设点、引入多元”解决问题的意识.只会机械地解方程组、求点坐标，即选择了方法1，在计算上花了很长时间，无奈之下稀里糊涂地得到了一个证明，不少环节是蒙的.

二是学生怕多元问题，不敢或者不愿主动设点、引入多个变量.方……