●(丹阳市教育局教研室 江苏丹阳 212300)

错题同样值得研究

●王先进(丹阳市教育局教研室 江苏丹阳 212300)

在高三数学考试中有这样一个题目：

1 3种解法竟然是同一结果

这里n-m=5,从而

解得

解法2图示法.若公差取得最大值，则区间内的最小项和最大项分别无限接近区间的2个端点(如图1)，此时区间内含有5d，即

解得

若公差取得最小值，则区间内的最小项和最大项分别离2个端点最远(1个d)，或者说最小项的前一项与最大项的后一项分别落在区间的端点处(如图2)，此时区间内含有7d，即

解得

综上所述，

图1

图2

解法3设落在区间内的第1项为an,则最后一项为an+5，由题意得

解得

3种不同的解法，得出同一个结果，似乎应该没有什么问题了.

2 一个反例轻松推翻了结论

该题引起了一定的讨论，源于一位教师提供的反例：

由

即

解得

2≤n≤8.

共有7项在该区间内，说明该范围不能满足题意.为什么会出现这样的情况？笔者进行了一些思考.

3 这个错误答案是如何形成的

取值范围，顾名思义，是取得到的值的集合.自然是不包括取不到的值，但也应该包括所有能取到的值，即不能多，也不能少.由本题的题意，不难理解要求的取值范围应该是前面条件的充分必要条件.

从解法1看，不等式组应该刻画的是充分必要条件，但以后的各步都只能说是充分而不必要的了，即有可能扩大了范围.

从解法2看，取最小值时，若将每项左移一点，则完全有可能出现7项在区间内，如图3所示.

图3

看来真正的范围应该是……