岳 芹

(皖西学院数理系，安徽 六安 237012)

Fuzzy方阵可实现的条件和性质

岳 芹

(皖西学院数理系，安徽 六安 237012)

研究了Fuzzy方阵可实现的条件和性质，给出了几种特殊的Fuzzy方阵可实现的条件, 讨论了可实现的Fuzzy方阵的性质。

Fuzzy方阵; 可实现; 条件

模糊矩阵的相关理论在Fuzzy控制、推理和逻辑等领域有着广泛的应用。1982年,刘旺金[1]提出了可实现Fuzzy对称方阵的概念并给出了Fuzzy对称方阵可实现的必要条件。文献[2～4]围绕Fuzzy方阵的可实现问题及其容度作了更深入的探讨。下面，笔者将进一步研究Fuzzy方阵的可实现问题。

1 基本概念

设L为[0,1]格,A=(aij)m×n是L上的m×n阶矩阵,AT表示矩阵A的转置矩阵。用Lm×n表示L上所有m×n阶矩阵组成之集,N+表示正整数之集,n={1,2,…,n}。以下所讨论的矩阵均为[0,1]格上的矩阵, 即Fuzzy矩阵。

定义2 设A=(aij)m×n,B=(bij)m×n, 令A∪B=(aij∨bij)m×n,称为A与B的并。

定义3 设F=(Fij)n×n,∀k∈N+, 定义:①F1=F；②Fk+1=Fk▯F。

定义4 设F=(Fij)n×n,若F2=F，则称F为幂等矩阵。

定义5 设F=(Fij)n×n, 如果存在P=(Piv)n×l, 使得F=P▯PT, 其中，PT为P的转置矩阵, 则称F对于▯是可实现的, 简称F是可实现的。

定义6 设F是可实现的Fuzzy方阵,记:

ω(F)=min{m|F=A▯AT,A=(aij)n×m}

称ω(F)为F的容度。

2 Fuzzy方阵可实现的条件

设F=(Fij)n×n, 下面讨论F可实现的条件。

定理1 若F是n阶对称幂等矩阵, 则F是可实现的。

证明F为幂等矩阵, 由定义4知F2=F, 即F=F2=F▯F, 又F是对称阵, 所以FT=F, 从而F=F▯F=F▯FT。因此F是可实现的。

定理2 设F是可实现的,则F是n阶对称阵,且Fii≥Fij(i≠j,∀i,j∈n),F2=F。

证明F是可实现的, 由定义知存在矩阵P=(Pis)n×l使得F=P▯PT,从而∀i,j∈n:

显然当i≠j时,Fii≥Fij。又:

所以F是n阶对称阵。

证明因为矩阵A,B均是可实现的, 所以存在矩阵C,D, 使得C▯CT=A,D▯DT=B。令:

则:

因此F是可实现的。

3 Fuzzy方阵可实现的性质

定理4 若n阶Fuzzy方阵F1,F2是可实现的,则F1∪F2亦可实现,且ω(F1∪F2)≤ω(F1)+ω(F2)。

证明因F1,F2是可实现的,所以存在矩阵P1∈Ln×s,P2∈Ln×t，使得：