史 婕，吴 坚，朱卉乔

（1.安徽农业大学 信息与计算机学院，安徽 合肥230036；2.安徽农业大学 经济技术学院，安徽 合肥230036；3.中国科学院 合肥物质研究院，安徽 合肥 230036）

混沌时间序列及MATLAB仿真实现

史 婕1，吴 坚2，朱卉乔3

（1.安徽农业大学 信息与计算机学院，安徽 合肥230036；2.安徽农业大学 经济技术学院，安徽 合肥230036；3.中国科学院 合肥物质研究院，安徽 合肥 230036）

在非线性系统中，存在着一种非常特殊的系统，即混沌系统，是一种介于确定关系和随机关系之间的状态。文章首先阐述了混沌的基本概念，然后对嵌入维数m和延迟时间τ这两个参数的选取方法做了简要介绍；列举了几个典型的混沌模型，并运用MATLAB软件对其进行仿真实现。

混沌；相空间重构；MATLAB仿真

1 引言

近年来，人们越来越关注非线性系统，因为客观世界是动态且复杂的，它的本质是非线性的。混沌理论，是一种非线性的理论，混沌时间序列分析已逐渐成为科学家们研究非线性系统的重点之一。混沌现象，它是介于确定与随机关系之间，是客观存在于自然界当中的一种重要的形式。混沌现象的一个很大的特点就是对初始条件非常敏感，小小的一个变化都可能会被放大，从而产生无法估计的结果，所以混沌理论不可以应用于长期预测中；但是混沌和无法控制的、毫无规则的随机运动是不一样的，它不是纯粹的无序，虽然轨迹发散，但是却无法逃离奇异吸引子的约束，吸引子的轨线永远是在有限区域内具有无限长的长度，所以，用它做短期预测会比运用传统的线性模型得到的预测结果要更为精确。

2 混沌系统

“混沌”（chaos），从字面上看是混沌无序的意思，然而它本质上其描述的却是一种表面上看好像没有规则的非周期的运动现象，但却又对初值非常敏感，具有无穷自相似结构。正式因为混沌系统具有很强的复杂性和奇异性，科学界并没有给出“混沌”一个公认的、普遍的、确切的定义。Li.Yorke定义和Devaney定义是关于混沌的两个比较有代表性的定义。

2.1 混沌的定义

2.1.1 Li.Yorke定义

1975年，马里兰大学的数学家Yorke与他的学生——华人李天岩发表的著名论文 《周期3意味着混沌》［1］从区间映射的角度给出了混沌的第一个数学定义，这也是第一次赋予“混沌”以精辟而权威的科学意义，被称为Li.Yorke定义（李天岩.约克定义）［2］：

考虑一个把区间［a，b］映射为自身的、连续的、单参数映射f，其点映射形式为：xn＋1＝f（xn，λ），xn∈［a，b］，只要满足以下三个条件，映射f就被称为是混沌的：

（1）f的周期点的周期无上界，即该映射存在一切周期的周期点；

（2）存在不可数的子集S⊂［a，b］，S不含周期点，并且满足：

其中：fn（x）＝f（fn－1（x））＝f（f…（f（x）））。

2.1.2 Devaney的混沌定义

在拓扑意义下，混沌可定义为：

设V是一度量空间，映射f：V→V，该映射f在V上是混沌的，必须满足以下条件。

（1）对初始值的敏感性。存在δ＞0，对任意ε＜0和任意的x∈V，在x的I邻域内存在y和自然数n，使得

（2）拓扑传递性。对任意对开集X，Y，存在k＞0，

（3）在V中映射f的周期点集稠密。

2.2 混沌时间序列

时间序列指的是客观存在的一组变量，一组以时间先后顺序排列并且每两个数值间的时间间隔相同的数值。混沌时间序列预测，是运用利去以及现在的观测数据，建立混沌预测模型，预测该组具有混沌特性的时间序列的未来。混沌时间序列预测主要分为相空间重构、混沌判别和建模预测三个步骤［3］，如图1所示。

图1 混沌时间序列预测的一般步骤

2.3 相空间重构

相空间重构［4］这一概念，是Packard等人在20世纪80年代提出的，它是混沌时间序列预测最根本也是最主要的内容。相空间重构也叫延迟坐标状态空间重构法，是指把一个给定的时间序列扩展到多维空间中，从而能够充分的显示该时间序列中蕴含的所有信息。Takens提出了著名的Takens嵌入定理［5，，从数学角度给出了证明，他认为系统中的每一个分量，它的演化都是由与其相互作用的其他分量决定。对于时间序列｛x1，x2，x3，…xn｝，如果能恰当的选取嵌入维数m和延迟时间τ，就可以重构出一个等价的相空间：

（其中N＝n－（m－1）＊τ为向量序列的长度）。

可见，相空间重构是非常重要的，重构的相空间是否恰当，直接决定着是否完整确切地展示原有混沌系统的所有特征和规律，这也是预测是否准确的根本。然而，从上式可以看出，相空间重构的是否恰当仅与两个参数相关，即嵌入维数m和延迟时间τ。

2.4 嵌入维数m的选取

为了确保预测的准确性，必须选择适合的嵌入维数m，不能过大也不能过小。若选取的m太小，吸引子会出现自交，这样就会出现假邻近点；如果m过大，又会使相点间距离太远，很容易过滤掉真正的邻近点，导致预测误差增大。嵌入维数的确定方法，一般有以下几种：

2.4.1 饱和关联维数法（G－P算法）［6］

饱和关联维数法，也成G－P算法，是1983年由美国数学家Grassberger（格拉斯伯格）和Procaccia（普洛克西娅）共同提出的，它的基本思想：计算半径为r的“筛孔”当中通过的所有相点的对数；但是，该方法有一定的局限性，一般用于相点分布较为密集的情况。

2.4.2 伪邻近点法

1992年，美国科学家凯勒（Kennel）提出了比较成熟的方法——伪邻近点法。首先先介绍什么是伪最邻近点，它是指，在嵌入空间维数较低时，造成空间轨道不能充分的展开，从而导致的某些本来相距很远现在却折叠在一起的相点。所以求最佳嵌入空间维数的根本就是消灭伪最邻近点。相空间的轨道会随着嵌入空间维数的慢慢增大而逐渐展开，这样折叠在一起的相点也会自然而然的分开，这些伪最邻近点便不再是最邻近点。伪邻近点法一般比较适用于相点分布比较稀疏的情况，此时得出的结果更加可靠。

2.4.3 Cao氏方法［7］

1997年，华裔科学家曹良月在伪邻近点法基础上提出了Cao氏方法，该方法是一种比较成熟的方法，具有适用于小数据量等诸多优良性质。其基本思想是：当嵌入维数的增大变化不再影响目测标量E1的变化时，最佳嵌入维数就是此时的m。但是，E1具有波动性，因此，在实际中不同的人往往会得出不同的结果。

2.4.4 C－C方法

经过无数次实验，科学家们逐渐发现重构的相空间质是否能展示原动力系统的特征，不再只是选取延迟时间τ和嵌入维数m的单独选取，而更重要的是如何确定与τ和m都密切相关的嵌入窗宽τw＝（m－1）τ。于是，科学家们致力于与研究一种能够同时计算嵌入维数和延迟时间的方法，1999年，C－C方法诞生了，它是由美国学者Kim、Eykholt和Salas共同提出的。该方法又有独特的特点，它通过应用关联积分，可以在减少互信息量法的计算量的同时保持时间序列的非线性特征。

2.5 延迟时间τ选取

Takens嵌入定理认为，当时间序列无限长、且不含有噪声时，延迟时间τ是可以选取任意值的，但在实际观测数据中，序列不可能无限长，也不可能无噪声。所以，实际应用中，τ的选取非常关键。如果选取的延迟τ太小，就不能充分显示系统的动力特征，因为过小的τ会使重构的相空间具有较强的相关性，造成相空间的挤压；延迟τ太大，会大大的减小t和t＋τ这两个时刻的状态的相关性甚至会变得毫不相关，破坏了原系统各变量之间的内在关系，使得重构的相空间不再含有原动力系统的信息。

延迟时间τ的确定主要基于以下两个准则：第一，要使得相空间的轨迹要尽可能扩展开来同时，保证不出现重叠的情况；第二，降低序列的相关性的同时要保证不丢失原动力学系统的信息。

目前求时间延迟τ的方法主要有：孩经典的依靠时间序列线性相关性的自相关法［8］，它的基本思想是：提取时间序列间的线性相关性；但是它只能用于线性相关的时间序列并且很难推广的高维空间。“1989年，Fraser（弗雷泽）提出了可用于非线性问题和大数据组的互信息量法［9］，克服了自相关法的缺陷；该方法的基本思想是：从事件bj在B中发生的概率从而得到ai在集合A中发生概率，再通过计算互信息函数第一极小值来确定延迟时间；虎中国学者林嘉宇、王跃平、黄芝平等于1999年提出的复自相关法，它在延续平均位移法在相空间重构中的几何意义的基础上对其进行了改进。”以及上文提到能够同时估计出嵌入维数和延迟时间的C－C方法。

3 混沌系统的仿真研究

3.1 Lorenz方程

1963年，美国著名的气象学家 Lorenz（洛伦兹）［10］在研究大气对流现象时，发现确定性方程中出现混沌现象。Lorenz方程的表达式如下所示：

设参数δ＝10，b＝4，r＝28，取前10000个点，利用MATLAB对系统进行仿真，得到图2；图3是它在xy，xz，yz平面上的投影，图4是它的关于变量x，y，z的时间序列。

图2 Lorenz方程

图3 Lorenz在xy，xz，yz平面上的投影

图4 Lorenz X，Y，Z相时间序列

3.2 Logistic映射

19世纪中叶，荷兰生物学数学家Verhulst提出了Logistic映射，方程为xn＋1＝μ·xn·（1－xn）。

取初值x0＝0.1，迭代步数为2000步，参数μ从2变化到4，随着μ的变化，系统的动力学形态不断变化，最后出现混沌状态。图5是用MATLAB对其进行仿真得到的Logistic映射相图。

图5 Logistic映射相图

3.3 Rossler方程

1976年，Rossler在研究具有中间产物的化学反应时，通过适当的坐标变化［11］，给出了此方程组，是非线性动力学中非常著名的方程：

式中：a，b，c为参数；x1，x2，x3为控制变量。

选取系统参数a＝0.2，b＝0.2，c＝5.7时，Rossler系统呈混沌状态，用MATLAB对其进行仿真得到此系统的吸引子相空间图和时间响应图，如图6。

3.4 Chen系统

典型的混沌系统Chen系统，方程描述为

式中：a，b，c为体统参数。

当取参数a＝35，b＝3，c＝28时，Chen系统呈混沌状态。图7是仿真Chen系统的吸引子相空间图以及时间响应图。

图6 Rossler系统

图7 Chen系统

4 结束语

由于混沌现象是普遍地存在于客观世界的各个角落，非线性混沌时间序列能广泛用于各个领域，所以这是一个拥有着非常好的应用前景的研究课题；利用Matlab软件，通过编写程序，依次对Lorenz方程，Logistic映射，Rossler方程和Chen系统四个典型混沌模型进行了仿真，并得到了相应的混沌系统的相图，这对进一步研究混沌理论不仅有较好的参考价值，而且有着十分重要的意义。

［1］Li T，Yorke J A，Period Three Means Chaos［J］.American Math Monthly，1975，（82）：985－992.

［2］H.Kantz，T.Schreiber，Nonlinear time series analysis［M］.Cambridge University Press，2004：157－164.

［3］吕金虎，陆君安，陈士华.混沌时间序列分析及其应用［M］.武汉：武汉大学出版社，2002.

［4］陈铿，韩伯棠.混沌时间序列分析中的相空间重构技术综述［J］.计算机科学，2005，32（4）：67－70.

［5］Ruelle D，Takens F.On the Nature of Turbulence［J］.Common Math Phys，1971，20（1）：167－192.

［6］Grassberg P，Procaccia I.Characterization of strange attractors［J］.Physical Review letters，1983，189：45－51.

［7］CAO Liangyue.Practical method for detenning the minimum embedding dimension of a scalar time series［J］.Physical，1997，110（1－2）：43－50.

［8］韩 敏.混沌时间序列预测理论与方法［M］.中国水利水电出版，2007.

［9］楼 玉.混沌时间序列方法在径流预报中的应用研究［D］.浙江大学，2005.

［10］Lorenz E.Deterministie Nonperiodie Flow［J］.Journal of Atmos Science，1963，（20）：130－141.

［11］Rossler.An equation t＇or continuous chaos［J］.Phys Lett A，1996，57：397－400.

On Chaos Time Series and its MATLAB Simulation

Shi Jie1，Wu Jian2，Zhu Huiqiao3

（1.School of Information and Computer Science，Anhui Agricultural University，Hefei 230036，China；2.School of Economics and Technology，Anhui Agricultural University，Hefei 230036，China；3.Hefei Institutes of Physical Science，Chinese Academy of Sciences，Hefei 230036，China）

In nonlinear systems，there is a very special system，named the chaos system.First，this article elaborates the basic concept of chaos，then it gives a brief introduction to the selection methods of the two parameters，which are embedding dimension and time delay.Finally，MATLAB is used to do simulations on several typical chaos model.

chaos；phase space reconstruction；MATLAB simulation

TP391.9

A

1673-1794（2011）05-0018-04

史 婕（1987－），女，硕士研究生，研究方向：农林信息技术；吴 坚（1954－），男，教授，硕士研究生导师，研究方向：农林信息技术；朱卉乔（1954－），男，硕士，研究方向：计算机软件技术。

2011-06-16