于 波，夏 焰，张玉坤

（1.德州学院 数学系，山东 德州253023；2.安徽大学 高教所，安徽 合肥 240039）

大学高考数学成绩与高数成绩的弱相关性分析
——基于A大学的个案探讨

于 波1，夏 焰2，张玉坤1

（1.德州学院 数学系，山东 德州253023；2.安徽大学 高教所，安徽 合肥 240039）

以山东省某综合型普通本科院校为例，采用实证研究的方法探求高考与大学生学业成绩的Pearson线性相关分析与Copula函数非线性相关分析，结果显示两者具有较弱的相关性。表明高中数学教育及高考数学考试与大学数学教育及考查有很大不同，研究结果为我国改革高考制度和中学数学教育提供了现实依据。

高考改革；数学教育；学业成绩；相关系数；Copula函数

1 问题提出

截止2010年，我国高等教育毛入学率已达到28%，表明我国已进入高等教育大众化阶段。2011年的高考录取率全国平均达到75%，源于高考是“一把尺子”衡量所有学生，人们对高考改革的呼声越来越高，高校自主招生的覆盖面也一再扩大。2010年颁布的《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010－2020年）》也提出了多元录取的高考改革方案，为高考改革提出了具体要求和指导原则。

本文以山东省某综合型普通本科院校（二本）为例，以下简称为A校，采用实证研究的方法探求高考与大学生学业成绩的相关关系，为我国高考制度改革提供现实依据。

A校从2000年开始招收普通本科学生，本科录取线为山东省本科二批分数线，在校生规模接近两万，众所周知该类院校是我国实现高等教育大众化的主要力量，研究结果具有普遍意义。研究对象为A校2000至2003级理工科本科毕业生及在籍学生，随机抽取其中674名学生，对其入学后的高等数学考试成绩及高考数学成绩进行相关研究。

2 研究方法

本课题采用实证研究方法对学生学业成绩进行追踪调查研究。追踪同一种样本，研究在不同时刻的动态变化过程。在数据的观测和收集方面，高考数学成绩由普通高校招生录取系统获得，学生的高等数学成绩由A校教务与教学等管理信息系统获得。在数据的分析方面，首先利用社会统计分析软件SPSS进行相关系数的检验，来分析二者的相关程度。由于Pearson相关系数仅能度量线性相关关系。因此我们又利用当今在相关性领域分析中比较常用的连接函数（Copula函数）来分析高考数学成绩与高等数学成绩之间的关系，并给出二者之间的定量分析。

3 高考数学成绩与高等数学成绩的相关性分析

3.1 采用简单相关系数

度量相依关系的工具主要是皮尔逊的相关系数。这个工具有着方便理解、容易计算等一系列的优点，在数理统计及其应用中起着一个举足轻重的作用。

3.1.1 相关系数的特点

相关系数以数值的方式很精确地的反应了两个变量间线性相关的强弱程度。利用相关系数进行变量间线性关系的分析通常需要完成一下两个步骤：

第一，计算样本相关系数 。

第二，对样本来自的两总体是否存在显著的线性关系进行统计推断。

（1）提出原假设，即两总体无显著的线性关系；

（2）选择检验统计量；

（3）计算检验统计量的观测值和对应的概率P－值；

（4）作出决策。

3.1.2 实例分析

（1）Pearson简单相关系数

设X、Y是总体的两个指标，（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）分别是来自这两个指标的n组观察值，则X、Y的相关系数ρxy记为

首先，利用SPSS软件的相关分析模块，得到高考数学与高数成绩的相关分析结果，见表1。

表1 高考数学与高数成绩相关分析结果

由表1可知：高考数学成绩与高数成绩间的简单相关系数为0.049，说明两者之间存在正的弱相关性。其相关系数检验的概率P值分别为0.205。因此，当显著性水平为0.05时，应该接受相关系数检验的原假设，认为两总体是零相关的，但不能确定两者之间是否存在其他非线形的关系，因此，本文采用Copula函数，来确定二者之间的关系。

（2）运用Copula函数做相关性分析

Copula函数是一个全面度量变量之间相依性的方法，它的出现改变了传统的用一两个指标来表示相关结构的方法，它使用一个完整的、全面的表示变量间的相关性，不仅是相关程度，而是整个相关结构。由此看来，在不能决定线性相关系数能否正确度量相关关系的时候，利用Copula理论来分析变量间的相关结构更为可靠［1］。

第一步，利用边际分布函数，将学生的高考数学成绩与高等数学成绩序列（xt，yt）转化为新的序列（ut，vt），利用MATLAB软件画出它们的散点图（图2），其中ut＝Fx（xt），vt＝Fy（yt），t＝1，…，T，Fx（x），Fy（y）分别为X，Y的边际分布函数；

图1 高考成绩与高数成绩散点图

图2 当α＝1.0494时GumbelCopula的674次模拟数据的散点图

根据散点图的特征，首先利用Copula函数的基于经验函数的BFGS方法估计法得到了与图1散点图特征相似的三种Copula函数中的参数值（见表2），然后模拟出上述三种Copula函数的散点图：Gumbel Copula的模拟散点图（见图2）、Frank Copula的模拟散点图（见图3）、Clayton Copula的模拟散点图（见图4）［5］。

表2 Copula函数的估计值

图3 当α＝10－6时Frank Copula的674次模拟数据的散点图

图4 当α＝0.0989时Clayton Copula的674次模拟数据的散点图

第二步，利用Archimedean Copula的解析法 选择：把［0，1］10000等分，令t分别等于各等分点，根据上述公式计算K（t）、＾K（t），t－K（t）、t－＾K（t），分别以t为横坐标，K（t）、＾K（t），及t－K（t）、t－＾K（t）为纵坐标，利用 MATLAB软件画出几种Copula的t－K（t）图（见图5）和它们的分布函数K（t）图（见图6）。通过计算Copula函数 Gumbel、Frank、Clayton的K（t）与＾K（t）的距离：d11＝0.0074，d21＝0.0019，d31＝0.8100，并进一步比较得到Frank的K（t）与＾K（t）的距离较小，因此 Frank是最优的 Copula函数［3］。

图5 Gumbel、Frank、Clayton的t－K（t）的比较图

图6 Gumbel、Frank、Clayton的 K（t）比较图

第三步，利用Q－Q图进行评价：利用MATLAB软件分别作出Gumbel、Frank、Clayton函数的Q－Q图，见图7、图8、图9。

图7 Gumbel函数的Q－Q图

图8 Frank函数的Q－Q图

图9 Clayton函数的Q－Q图

通过Q－Q图比较，我们得到Copula函数Frank函数是最适合数据的。由Frank Copula函数的表达式

知，当α→0时，表示随机变量u，v趋向独立，而本案例中α＝1.0×10－6，故可以认为高考数学成绩与高数成绩间的相关性非常弱。

4 结论

基于Pearson简单相关系数分析与Copula函数的分析结果，可知，该校大学生的高数成绩与高考数学成绩的相关性不大。究其原因，可能与高中数学教育及高考数学考试与大学生高等数学教学及考核的目的、方式不同有关。因为高考是选拔性考试，高中数学教育注重的是强化学生的应试能力；而大学高等数学教育的目的培养学生创造性数学思维能力及运用数学分析解决问题的能力，注重的是学生能力的培养，且大学高等数学考试强调的是学生对数学知识的运用能力。因此，我们认为应该改革高考数学考试的方式，发挥高考“指挥棒”作用，改变中学应试型数学教育，强调学生运用知识能力的培养。此外，还应继续扩大高校自主招生覆盖面及采用多种高校录取方式，在统一高考之外，着重加强学生的知识运用能力的考查。

［1］Sklar.A.Functions de repartition and dimensions et lears marges［J］.Publ.Inst.Statist.univ.Paris，1959，（8）：229－231.

［2］Roger B.Nelsen，Portland，Oregon.An Introduction to Copulas［M］.Springer，New York，1999.

［3］于 波，陈希镇，杜 江.Copula函数的选择方法与应用［J］.数理统计与管理，2009，（6）.

［4］于 波.Copula函数模型的选择［J］.统计与决策，2009（14）.

［5］于 波.一种新的Copula函数的参数估计方法［J］.统计与决策，2009（11）.

［6］张楠楠.本科生入学成绩与学业成绩的相关性分析［J］.东北农业大学学报（社会科学版），2008，（6）.

Correlation Analysis on Scores between Entrance Exam for Math and Higher Mathematics Test in a Case of A University

Yu Bo1，Xia Yan2，Zhang Yukun1

（1Department of Mathematics，Dezhou university，Dezhou 253023，China；2Institute of Higher Education，Anhui University，Hefei 230039，China）

In a case of general undergraduate university in Shandong Province，the article explores an empirical research to identify academic achievements by ways of Pearson Linear Correlation and Nonlinear Correlation of Copula Function.The result shows that scores＇correlation between Entrance Exam for Math and Higher Mathematics Test is weak.It is convicted that there is a big difference in Math Education between a high school and a university，as well as in goals between Entrance Exam for Math and Higher Mathematics Test.

reform for University Entrance Exam；math education；academic achievement；correlation analysis；Copula Function

G642

A

1673-1794（2011）05-0015-03

于 波（1981－），男，讲师，博士研究生，研究方向：统计方法及其应用.

山东省教育科学“十一五”规划课题（2008ZK0042）

2011-04-22