唐树乔，郭 彦

(1.东南大学 数学系，南京 211100;2.亳州师范高等专科学校 理化系，安徽 亳州 236800;3.南京财经大学 应用数学学院，南京 210046)

带有变指标反应项的非线性抛物方程解的爆破

唐树乔1，2，郭 彦1，3

(1.东南大学 数学系，南京 211100;2.亳州师范高等专科学校 理化系，安徽 亳州 236800;3.南京财经大学 应用数学学院，南京 210046)

通过引入特征函数和构造适当的上解，讨论了一类带有变指标反应项的非线性抛物方程的爆破行为，并证明了这类方程初边值问题的非负解在有限时刻爆破和整体存在。

非线性抛物方程;特征函数方法;整体存在;爆破

0 引言

本文考虑下列带有变指标反应项的非线性抛物问题

其中Ω⊂RN是带有光滑边界∂Ω的有界区域，q＞1，初值u0(x)是非平凡的非负连续有界函数。而连续函数p(x)、a(x)、b(x)则满足以下条件:

几十年来，人们对非线性抛物方程ut=Δu+f(u)解的爆破问题进行了大量深入的研究，如参考文献［1－3］。然而带有变指标反应项的非线性抛物方程解的爆破现象，却是近几年才开始步入人们的视野，已发表的论文也不多，有兴趣的读者不妨查阅下文后所列的参考文献［4－9］。

定义1.1如果存在常数 T(0＜T＜∞)，使得方程(1)的解 u(x，t)在上存在，并且有，那么称方程(1)的解u(x，t)在有限时刻T爆破，时间T称为爆破时间。

定义1.2如果方程(1)的解u(x，t)在上存在，那么称方程的解u(x，t)整体存在。

引理1.1设η(t)为连续可导函数且满足不等式:

其中常数 q＞1，a，b，c＞0。若 η(0) ＞0，－aη(0)+bηq(0) －c＞0，则 η(t)爆破。证明:取

只要 η(0)≥k0，就有在［0，T)上积分并注意到 q＞1，有，从而η(t)爆破。

1 解的爆破

对于方程(1)的解的爆破性质，我们有如下定理……