刘向宇

(天津广播电视大学 理工学院，天津 300191)

某类常微分方程的积分解法

刘向宇

(天津广播电视大学 理工学院，天津 300191)

关于二阶常系数线性微分方程的常规解法是非常完善的，而且还可推广出高阶常系数线性微分认识方程的求解。但是这个方法也是比较复杂的，对于某些二阶常系数线性微分方程完全可以改用简单实用的方法来解决。根据其特征根的不同情况进行分类讨论可以得到通解的一般表达形式。

微分方程;特征根;通解;积分方法

0 引言

函数是客观事物内部或外部朴素联系的数量反映，利用函数能够方便对客观事物的规律进行研究。在实际情况中，直接确定出需要的函数关系往往比较困难，但是有时却可以通过已知的条件建立要找的函数及共导数的关系式，这就是微分方程。作为积分应用的求解常微分方程问题是高等数学中非常重要的一部分。但由于微分认识方程的复杂性，它的解法根据微分方程的不同也相对多样，这里主要讨论的是二阶常系数线性微分方程即y″+py′+qy=h(x)(其中p，q是常数)的通解问题，为的是拓宽学生的解题思路。

按照常规的解法，是先确定二阶常系数齐次线性微分方程y″+py′+qy=0的通解y0，然后再根据h(x)的不同情况确定非齐次线性微分方程y″+py′+qy=h(x)的一个特解y*，最后根据解的叠加原理得到非齐次线性微分方程的通解y=y0+y*。［1］这个求解过程其实是比较复杂的，其一，确定齐次线性微分方程的通解时需要根据特征方程得到的特征值情况确定通解的分类，然后才能确定通解;其二，确定特解更为复杂，需要考虑h(x)的形式以及特征值情况构造特解的形式，然后把构造出的特解代入原微分方程利用待定系数法确定特解。……