李石涛

具有放养率的时滞捕食模型的分岔行为

李石涛

(沈阳工业大学 基础部，辽宁 辽阳 111000)

考虑一类具有常数放养率的时滞捕食种群模型，研究了种群稳定性和分岔行为。通过对特征方程的研究，得到种群稳定及发生分岔行为的充分条件;利用MATLAB软件进行数值模拟，给出相空间的轨迹，得到时滞与放养率是影响种群稳定的两个重要因素，验证了理论分析所得结果的正确性。

时滞;放养率;稳定性;分岔

0 引言

可更新资源的持续开发和利用，已成为经济管理学家和生态学家都在关心的问题之一，而时滞对生物种群的动力学行为的影响也得到生物学家的关注［1，2，3］。许多学者研究了具有开发的时滞的捕食—被捕食种群模型，关于可持续开发给出研究结果［4，5，6］。已有的大部分工作集中在不含放养项的捕食—被捕食系统，对模型的分岔点及正平衡点稳定的充分条件给出了一些研究结果［7，8］。本文考虑了具有常数放养率的时滞功能性捕食模型如下

其中x(t)，y(t)分别代表被捕食者，捕食者种群密度;r为被捕食者出生率;K为最大容纳量;d为捕食者死亡率;τ为时滞量;H为被捕食者的常数放养率;为捕食者种群的Holling II型功能性反应函数;a，b，c，d，r，k，H 皆为正数。

1 主要结论

设 E*(x*，y*)为模型(1)的平衡点，即(x*，y*)满足

定理1若模型(1)满足则存在正平衡点E*(x*，y*)。

模型(1)在正平衡点E*(x*，y*)处线性化，对应的系数矩阵的特征方程为

从上面的分析，可得

为了研究分岔发生的充分条件，对方程(3)的两边同时求导，可得

令ω0是与(k=0)对应的纯虚根，即，由此可计算