董超 武警北京指挥学院 100012

运用“微元法”培养学生解决物理问题的能力

董超 武警北京指挥学院 100012

“微元法”是用来解决物理问题重要方法，也是培养学生解决物理问题能力的有效途径。本文针对“微元法”的关键“微元”进行了探讨，目的是找到解决物理问题的思维方法，从而达到运用“微元法”培养学生解决物理问题的能力。

物理学；微元；微元法

物理学是一门研究物质内部结构、运动的基本形态、规律以及物质之间相互作用和转化规律的自然科学。就空间而言，从10-15m（质子的半径）到1026m（可探测到的类星体的最远距离）的尺度均属其研究范围。就时间而论，从10-43s（普朗克时间）到1039s（质子的寿命）都在其研究之列。作为公众关注的是物理学在工程技术中的应用结果，而作为“大学物理”教师，考虑的是在有限的时间里如何提高给学生学物理的积极性、培养学生解决实际问题的能力，这是我们“物理人”讨论的一个永恒的主题。

大学物理教学中，常常遇到运用“微元法”解决物理问题。所谓“微元法”就是将一些几何、物理等实际问题转化为定积分来计算的数学方法。“微元法”的理论基础是：①计算的量应对于区间具有可加性。②小区间上的部分量应具线性性。所谓具有“线性性”，即对小区间上的量而言，总存在关于的线性函数，使是比高阶的无穷小，也即。

如何用“微元法”解决物理问题是物理教员的重要难题！这个难题的关键是如何寻找“微元”？下面就“微元”作进一步的探讨。

一 “微元”理论

积分的思想在古希腊时代已有萌芽。公元前5世纪德谟克利特创原子学说，把物体看作是由大量微小部分叠加而成，从而求得几何体的体积。中国古代《庄子·天下篇》中的“一尺之棰” ，芝诺的悖论，欧多克斯的“穷竭法”，刘徽的“割圆法”。他们的目的就是要寻找“微元”这个最小基本单位。

在“大学物理”教学中，我们把质点、分子、电子等称作“微元”，学生可以理解，但对于“元位移”、“元功”、“元电荷”、“元电场”、“元电动势”、“元电通量”、“元电流”、“元磁场”、“元能量”等等看作“微元”学生就难以接收。为了更好地掌握“微元”这一重要概念，我在上课前首先从数学的角度介绍微元含义。其次用物理的语言来描述“微元”。在 “大学物理”教学中，有些学生会抱怨说：“我们的教学过于基本，过于理想化，与实际相差甚远”。这与教师没有把寻找“微元”，以及“微元”这个模型在解决物理问题当中的重要作用告诉学生有一定的关系。所以，我努力让学生逐渐体会“微元”的重要性—一旦找到了“微元”，问题无论多么复杂就都能解决，因为后面的工作就是如何运用数学工具，乃至用电脑去解决问题获得结果了。例如：在讲“功”的问题，学生以前学过的是恒力沿直线做功。但更一般的情况应该是研究变力沿曲线做功。那么，研究恒力沿直线做功的意义是否仅仅在于“简单、容易、符合我们的理解力”呢？其实不完全是这样，研究它的意义还在于它可以作为“微元”来解决问题。因为任何一个变力沿曲线做功的问题，都可以归结为恒力沿直线做功的积分。实践证明：教师只有讲清楚了为什么可以运用“微元法”的原理，这样，学生运用起来才得心应手、才能真正调动学习物理的兴趣、从而达到了培养学生解决问题能力的目的。

二 如何寻找“微元”

从理论上来讲：只有符合“微元法”原理，都可以用它来解决问题。实际上， “微元”建立的好坏将直接影响求解结果。为了正确地寻找“微元”，我先举两个例子，然后归纳寻找“微元”的有效途径。例1：一半径为R的带电球体，其电荷密度为：

试求：（1）带电体的总电量；（2）球内、外各点的电场强度；（3）球内、外各点的电势。

要解决第（1）问，首先要建立“微元”—“元电荷”，即dQ。其次是求“元电荷”，元电荷又与“元体积”密切相关。取半径为r-r+dr的球壳为“体积元”。从而求解“元电荷”为：

最后对带电球体积分就可以求得总电量Q

对于（2）（3）问，只要正确找到“电荷元”，就可以迎刃而解。

例2 计算质量为m，半径为R的匀质圆盘对通过盘心并垂直盘面的轴的转动惯量。

要求转动惯量，关键在 “质量元”的选取。在圆盘上任取一半径为r、宽为d r的窄环带作为面元ds，此环带的质量就是“质量元”dm。

为此不难求得对应的“惯量元”d I

要求整个圆盘对该转轴的转动惯量I，只要对dI进行定积分得：

由上例子不难看出：正确寻找“微元”是解决问题的关键！寻找“微元”的有效途径是：1、先假定要求的量的 “微元”。2、找出要求的“微元”与其他“微元”有关，列出它们之间的关系。3、对假定的微元进行定积分就可以求解。

三 建立“微元”应注意的问题

“微元”建立的好坏，它将直接影响到求解的结果。在学习过程中应注意以下两个问题：

1、注意微元与物理模型的关系。物理模型是物理学处理复杂问题简单化的重要工具。在建立微元的过程中，应把微元与物理模型有机地结合起来。

2、注意所求微元与其他微元之间的关系。我们所求解的微元大多数不能直接求解，而是通过其他微元间接求解。所以在建立微元时，应区分能否直接求解？理想情况是直接求解，不能直接求解的就要建立正确的微元与微元之间的关系。

10.3969/j.issn.1001-8972.2011.10.165

董超（1968.），女，毕业于江西师范大学物理系光学专业，硕士研究生。现任武警北京指挥学院数理教研室副主任、副教授。