官振中，李晓力

（1.四川大学 工商管理学院，成都 610064；2.西南交通大学 经济管理学院，成都 610031）

供应质量不可靠下的易逝品最优订货和定价策略

官振中1，2，李晓力2

（1.四川大学 工商管理学院，成都 610064；2.西南交通大学 经济管理学院，成都 610031）

易逝品由于其价值可能会在短时间消逝，不切适宜的订货和定价策略会对出售易逝品的零售商的利润产生很大的影响，文章考虑在供应商供货有次品情况下，以获得最大期望利润为目标，建立了需求是随机且受价格变量影响时的最优订货和定价策略模型，对模型的最优条件和性质进行了讨论，并分析了产品次品率及批发价格、需求的波动程度对最优策略的影响，得到了一系列有意义的性质和管理原则。

易逝性产品；订货策略；定价策略；随机需求

0 引言

易逝品[1][2]又称季节性产品或短生命周期产品，如：报纸杂志、影碟、食品、药品和时装等。随着科技的进步，更新换代加快，越来越多的产品 (如：电子产品、个人计算机和信息产品等)具有易逝品时效性强、需求波动大的特征。超过生命周期的易逝品的剩余价值将会丧失或变得很低。

以往关于易逝品库存方面的很多研究都是假定产品完全合格，没有考虑产品的质量问题，虽然现代工厂追求零缺陷的理念，而在实际供应链操作中，由于供应商在工艺水平、沿途运输、仓储等环节不可避免的导致一些产品缺陷，而考虑到易逝品价值短时间的衰退性，研究供货不可靠的易逝品订货策略具有重要的理论意义和现实价值，同时由于定价会影响消费者的需求，可以对产品的供需起到调节作用，同时考虑定价和订货对于短期就是利润压力的易逝品零售商更符合现实情况。

对于易逝性产品订货的研究，始于上个世纪50年代的单阶段库存模型，即报童（Newsboy）模型。自1988年到现在，已经有超过50篇的文献专门对此问题进行了研究[3]；国内研究易逝品订货策略也是成果丰富[4-7]，但是这些研究都建立在零售商所贩卖产品价格是外生变量，即不受零售商所控制[8-11]，而价格作为营销策略的重要一环，其决策深深影响顾客的需求，进而会影响零售商的利润，很显然，顾客的购买行为会受到零售商的定价决策影响，当售价过高时顾客的购买意愿会降低，结果造成零售商的库存负担，但售价过低时，零售商亦会利润微薄而难以在激烈竞争市场环境下生存，考虑到易逝品在销售期末价值基本为零这一典型特征，零售商更应重视价格对需求的影响继而影响库存的消耗，对于易逝品考虑价格的研究在收益管理文献中比较多见[12-14]，对于将价格作为决策变量引入到报童模型中代表性的文献包括：Lau和Lau[15]提出易逝性产品的定价、订购问题，将传统的报童模式延伸，考虑到价格会影响需求，进而以线性与非线性回归的两种模式来表现价格相依的需求模式，并探讨价格和订购量对利润的影响；Petruzzi和Dada[16]同样认为应将价格和需求作为决策因素引入到传统的报童模型，阐明了市场学如何引入到运营管理领域中去，Burnetas和Smith[3]针对易逝性产品做多期的定价、订购决策，并在需求未知的情况下，靠着过去定价、订购量与销售水平之间的关联，决定价格影响数量订购，且更进一步发现需求与价格间呈现出随机函数的关系；而Lau和Lau[17]通过相加型和相乘型等五种不同的需求模式，验证出不同需求形式对存货定价的模式有不同影响。本文将着重研究零售商在面临可以自主决定最优价格时从而影响顾客需求的情形下的最优策略，并引入供货质量不可靠因素，着重考察各个因素对最优决策的影响，为业界实践操作提供理论依据。

1 模型描述、变量描述及假设

假定市场中由一个零售商和一个供应商组成的供应链，顾客的需求是随机波动的，并且受价格的影响，零售商需要同时决策订多少货并且订多少价，为讨论分析的方便，进行如下的符号定义和假设：

w：供应商的单位产品的批发价格；v：单位产品的缺货损失；

R：包含缺陷品的产品的缺陷品率，为一统计值，R∈（0，1）；A：单位缺陷品的顾客索赔；

p：单位产品的零售价格（决策变量）；q：零售商向供应商的订货量（决策变量）；

X：产品的市场需求量，为一随机变量，其概率密度函数f(x)和累积分布函数F(x)均为可微的和可逆的；μ：产品市场需求量的数学期望；

假设1供应商都有足够的产品可供订购；

假设2产品的单位零售价格不小于该产品的单位批发价格，即p>w；这个假设说明零售商销售产品是想获得一定的利润，保证其愿意订购产品出售给顾客；

假设3初始库存为0。

2 系统建模与分析

2.1 利润函数建立

在需求为随机的情况下，零售商面临两种情形：进货量大于需求和进货量小于需求，其利润函数可分别表示如下：

在利润模型中，零售商所需付出的成本项有：向制造商购买产品的采购成本，即购买产品所付出的批发价格；零售商向制造商订购过少产品数量而产生缺货的信用损失成本；以及考虑当零售商贩卖有质量缺陷的产品时遭索赔的成本。决策变量为零售商向供货商订多少货，并且制定贩卖的价格，假定零售商时风险中立的，即追求期望利润最大化。考虑到易逝品的时效性，假设到销售期末残值为零，这在易逝品研究中是个常用的假设，不影响问题的性质。

2.2 需求函数的描述

我们将随机需求与价格间的关系建立成下列的模式：

为了计算的简化性，我们将价格影响需求的式子以线性的方式表示，并用d(p)的函数式来统称之，而ε称作误差项，并符合以下假设：

①ε服从正态分布，且ε为独立随机变量；

②平均数 E(ε)=0；

③方差 Var(ε)=σ2；

于是可以很清楚的知道需求亦会服从相同的概率分布（正态分布），此回归模型并符合下列假设：

②不同价格p下的需求x相互独立；

图1给出了这种简单线性需求函数示意图；

图1 简单线性需求函数示意图

如此，零售商的期望利润可以表示如下：

令 x=u+σY，那么 Y=(x-u)/σ

利润函数可以化简为：

式（5）分别对q和p求导，得到：

令式（6）和式（7）等于零，解下列方程组即可得到零售商的最优订货量和最优定价：

证明 令：

其海塞矩阵为：

3 最优订货量和最优定价的一些性质

为讨论的方便，给出如下定义：

定义 风险比例函数（hazard rate function）h(z)=描述了订货增加一个单位时而缺货概率减少的比例。

性质1 产品的最优订货量q跟产品的单位批发价w成反比关系，而产品最优定价p当跟单位批发价w成正比关系，当则成反比关系。

最优订货量跟批发价格的关系非常直观，也是传统报童模型的结论，在价格一定情况下，批发价格越高肯定订货越少，相反则订的越多；而在一定总量库存下，失效比例函数越大，说明其越容易满足顾客，此时如果危险比例函数大于临界值时，批发价定得高，零售价亦可以定得高而不怕顾客的流失，相反，低于时反而应该降价以刺激顾客的购买率。

性质2 产品的最优订货量q*跟产品的单位索赔额AR成反比关系，而产品的最优定价p*当如果时跟单位索赔额AR成正比关系，当时则跟单位索赔额AR成反比关系。

当单位索赔额过大时，零售商可以通过减少订货量来规避当贩卖质量不合格产品产生的不良后果。

推论 当AR等于零，表明供应商供应的产品全是无缺陷产品，可以看出，此时零售商将会订更多的产品，即零售商在相同条件下，无次品产品订购数量将大于有此品订购数量。

4 结论及未来研究

本文研究了一类特殊品——易逝性产品的订货问题，指出了零售商在面临供应商供应的产品有质量缺陷时，采用向下替代策略来满足一部分缺货需求，同时还可以提高其期望利润，证明了零售商最优策略存在应满足的条件，并给出了不同条件对于订货策略的影响，得出了一些有意义的性质和结论，未来可以在本研究的基础上，可以在以下领域做进一步研究：（1）本文考虑的是单阶段问题，而零售商考虑的是多阶段问题，并且在多阶段问题中还会涉及补货问题，模型将变得更加复杂，但将会更接近于实际，所得结论对实务操作估计更具启发性；（2）价格受质量缺陷的影响，即不同质量的产品售予不同的价格，这样索赔额将不再仅仅是一个固定值；（3）本文仅从零售商自己出发，而市场上存在多个零售商，即要考虑竞争的因素，这也是当今易逝品研究的一个热点和难点。

[1]Nahmias,S.Perishable Inventory Theory：a Review[J].Operations Research,1978,30(4).

[2]Raafat,F.,Wolfe,P.M.,Eldin,H.K.An Inventory Model for Deteriorating Item[J].Computers and Industrial Engineering,1991,20(1).

[3]Petruzzi N.C,M.Dada.Pricing and the Newsvendor Problem:A Review with Extensions[J].Operations Research,1999,47(2).

[4]蔡连侨，陈剑，严厚民.可替代产品的库存模型研究(I):最优订货量[J].系统工程理论与实践，2003,(6).

[5]蔡连侨，陈剑，严厚民.可替代产品的库存模型研究((II):基本性质[J].系统工程理论与实践，2003,8.

[6]陈旭.面向随机需求的可替代易逝品的订货策略研究[J].系统工程理论方法应用,2004，13(4).

[7]陈旭.考虑批发价格更新的易逝品的零售商订货策略[J].中国管理科学,2004,12(4).

[8]Khouja M.The Single Period (news-vendor)Inventory Problem:A Literature Review and Suggestions for Future Research[J].Omega,1999,(27).

[9]Pentico D W.The Assortment Problem with Probabilistic Demands[J].Management Science,1974,21(3).

[10]Goh C H,Greenberg B S,Matsuo H.Two-stage Perishable Inventory Models[J].Management Science,1993,39(5).

[11]Bassok Y,Anupindi R,Akella R.Single Period Multi-product Inventory Models[J].Operations Research,1999,47(4).

[12]Weatherford L R A,Bodily S.A Taxonomy and Research Overview of Perishable Asset Revenue Management Problems[J].Journal of Combinatorial Optimization,1992,1(3).

[13]Gabriel R.,Susana V.Periodic Pricing of Seasonal Products in Retailing[J].Management Science,1997,43.

[14]Zhao W,Zheng Y S.Optimal Dynamic Pricing for Perishable Assets with Nonhomogeneous Demand[J].Management Science,2000,46(3).

[15]Lau,A.H.L.,H.S.Lau.The Newsboy Problem with Price-dependent Demand Distribution[J].IIE Trans,1988,20(2).

[16]Burnetas,A.N,C.E.Smith.Adaptive Ordering and Pricing for Perishable Products[J].Operation Research,2000,48(3).

[17]Lau,A.H.L.,H.S.Lau.Effects of a Demand-curve’s Shape on the Optimal Solutions of a Multi-echelon Inventory/pricing Model[J].EJOR,2003,147(3).

F275

A

1002－6487（2011）04－0170-03

博士后面上基金资助项目（200904501291）；教育部博士点基金项目（20090184120027）

官振中（1975-），男，湖北荆门人，博士后，副教授，研究方向：易逝品供应链和收益管理。

（责任编辑/易永生）