黄永峰

(昌吉学院数学系 新疆 昌吉 831100)

1 引言

近年来,高阶边值问题由于其在物理及工程学中应用的广阔性而得到了人们的广泛关注.许多作者研究了高阶边值问题正解的存在性,得到了一些较好的结果, 见文[1,2,3]。他们大都利用锥拉伸或锥压缩定理以及不动点指数理论在非线性项满足超线性或次线性条件时获得结论.也有许多作者利用临界点理论及Morse理论研究了高阶边值问题解的存在性,见文[4,5,6,7].特别地,文[5]利用临界点理论和Morse理论并结合局部环绕定理得到了四阶带参数Dirichlet边值问题解的存在性.文[7]运用鞍点定理及临界点理论得到了四阶带参数的Neumann边值问题的解的存在性.基于以上的研究工作,本文考虑如下的问题

解的存在性,其中f∈C1([0,1]×R,R),η,ξ为参数,且满足条件：

为了证明的需要,本文作如下的几个条件假设：

2 预备知识

由此知边值问题在C4[0,1]中的解等价于下列方程

在C[0,1]中的解.

为了结论的证明需要,下面给出一些临界点理论和Morse理论的基本定义和引理.

定义2.1[8]设D是实Banach空间E中的开集,泛函J:D→R1在D上是Frechet可微,若有u0∈D使得J'(u0)=0,则称u0是泛函J的一个临界点.

定义2.2[8]设E实Banach空间,J∈C1(E,R1).如果{un}⊂E,J(un)→c,J'(un)→θ,n→∞蕴涵{un}有收敛子列,则称泛函J满足(PS)c条件.如果对于所有的c均满足(PS)c条件,则称泛函J满足PS条件.

定义2.3[9]设J(θ)=0,E=V⊕X,dimV<+∞,X为实Banach空间.如果存在ρ>0,使得

J(u)≤0,u∈V,‖u‖≤ρ;

J(u)>0,u∈X,0<‖u‖≤ρ,

那么称J在θ点局部环绕.

定义2.4[9]设u0是泛函J的一个孤立临界点,J(u0)=c,U是u0的一个邻域且在U中J除u0外没有其它临界点.我们称

Cq(J,u0)=Hq(Jc∩U,(Jc∩U){u0}),q=0,1,2…,

为J在u0的第q个临界群,其中Hq(X,Y)为第q个奇异相对同调群,其系数为整数群.若至少有一个临……