王雪琴

(渭南师范学院数学与信息科学系，陕西渭南714000)

关于导函数连续的条件分析

王雪琴

(渭南师范学院数学与信息科学系，陕西渭南714000)

通过对导函数特性的分析，得到了导函数连续的几个充分条件，为继续研究分段函数的连续性及后续的积分学提供了理论依据.

导函数连续性;一致可微;凹凸性;充分条件

1 预备知识

定义［4］设f(x)在区间I上有定义，若对时，有

则称f(x)在区间I上一致可微.

引理1［1］若函数f(x)在U(x0)内连续，在U0(x0)内可导，且极限存在，则f'(x)在x0点连续.

该引理是导函数的连续性定理，说明导函数极限存在就连续，即不存在第一类间断点.它与一般函数不同，这是导函数的一大特性.

引理2［5］若函数f(x)在开区间(a，b)内可导，且f'(x)在(a，b)单调，则f'(x)在(a，b)内连续.

该引理说明导函数如果单调就连续，但对一般函数而言，需要满足单调有界定理才能有极限，所以谈不上连续.它又体现了导函数的特性.

引理3［3］若函数f(x)在开区间(a，b)内可导，f(x)为凹(凸)函数当且仅当f'(x)为减(增)函数.

2 结论及证明

结论1 若函数f(x)在开区间(a，b)内可导，且f(x)为凹(凸)函数，则f'(x)在(a，b)内连续.

证明:由引理3及引理2可证得.

说明:若x0为f'(x)的间断点，则必是第一类间断点:即凹(凸)函数不存在第二类间断点.

结论2 若f(x)在区间I上一致可微，则f'(x)在区间I上连续.

数学分析研究的对象是函数，导函数是函数中极其特殊的一类函数，而导函数的特性是数学理论与数学教学中值得探讨的一个课题，它对丰富数学的内容，培养学生数学思维的能力具有重要的意……