赵教练

(渭南师范学院数学与信息科学系，陕西渭南714000)

一个包含特殊函数的方程的解

赵教练

(渭南师范学院数学与信息科学系，陕西渭南714000)

对任意正整数n，Smarandache LCM函数是满足的最小的正整数，其中 [1，2，…，k]代表1，2，…，k的最小公倍数;伪Smarandache函数Z(n)定义为最小的正整数m，使得．文章用分类讨论和初等方法完全解决方程SL(n)=Z(n)的可解性，给出其所有解．

伪Smarandache函数;Smarandache LCM函数;可解性

对于任意的正整数 n，著名的伪 Smarandache函数 Z(n)［1］定义为最小的正整数 m，使得．其中N表示所有正整数的集合．根据Z(n)的定义，我们很容易知道n比较小时的一些值，例如z(1)=1，z(2)=3，z(3)=2，z(4)=7，z(5)=4，z(6)=3，z(7)=6，z(8)=15，z(9)=8，z(10)=4，z(11)=10，z(12)=8，z(13)=12，…

伪Smarandache函数Z(n)是由Gorski David在文献［2］中提出的，同时他还给出了这个函数的一些基本性质:

性质1 对任意大于等于3的素数p，Z(p)=p－1．

性质2 对任意的正整数k，Z(2k)=2k+1－1．

性质3 对任意的正整数k及大于3的素数p，Z(pk)=pk－1．

性质4 若正整数n为大于1的奇数，Z(n)≤n－1．

除了这些基本性质外，许多学者还从其他方面对Z(n)进行了研究，并且得到了一些很有价值的结论．例如，在文献［3］中利用初等方法研究了方程Z(n)=S(n)和Z(n)+1=S(n)的可解性，并给出了这两个方程所有的正整数解，即:

(1)Z(n)=S(n)成立当且仅当n=p·m，其中p为奇素数

(2)Z(n)+1=S(n)成立当且仅当n=p·m，其中p为奇素数

结合Z(n)的基本性质，研究它们之间的联系，即探讨方程

的可解性，利用初等方法获得了该方程所有的正整数解，即以下定理

定理1 设n为任意正整数，方程SL(n)=Z(n)有:

i)n=1为方程(1)的解;

ii)设p为素数，k为任意正整数，则n=pk不是方程(1)的解;

下面对定理1进行证明:

i)n=1时，SL(1)=1，Z(1)=1，故n=1为方程(1)的解;

下面考虑n≥2的情况.

ii)当p=2时，即n=2k，SL(n)=2k，Z(n)=2k+1－1，显然n=2k不是方程(1)的解.当p＞2时，n=pk，SL(n)=pk，Z(n)=pk－1，故n=pk，p＞2，不是方程(1)的解.

因此……