田朝薇，宋海洲

（华侨大学数学科学学院，福建泉州362021）

一类带有混合约束的二次半定规划及其投影收缩算法

田朝薇，宋海洲

（华侨大学数学科学学院，福建泉州362021）

研究带有线性等式及线性不等式约束的二次半定规划问题.讨论对偶理论、最优性条件及其等价的单调变分不等式，给出相应的投影收缩算法.经收敛性分析，可得该算法是全局收敛的.

二次半定规划；投影方程；变分不等式；投影收缩算法

半定规划在系统论、控制论、组合优化、特征值优化等诸多领域中有着广泛的应用，而且它有行之有效的多项式时间算法.目前，研究较多的是在满足约束对称矩阵的仿射组合半正定的条件下，使线性函数极小化，即线性半定规划问题［1－3］.在文［4］给出的求解半定规划的二次摄动方法中，其摄动问题的对偶规划可转化为一个只有变量半正定约束的二次半定规划问题（QSDP）.文［5］在文［4］基础上加以等式约束进行讨论.本文在文［5］的基础上加上不等式约束，讨论对应的投影收缩算法.

1 二次半定规划问题

考虑二次半定规划问题，即

式中：C，X均为n阶实对称矩阵；vec（X）表示由矩阵X的列叠成的n2维列向量，并且Rl×n2；Aj（j＝1，…，l）；Fi（i＝1，…，m）；Ek（k＝1，…，h）；b∈Rl；d∈Rm；g∈Rh；X≥0表示矩阵X是半正定的.A·B＝∑i，jAi，jBi，j＝tr（ATB），矩阵运算A·B的定义为矩阵A，B的内积，tr为矩阵的迹.

假设Fi（i＝1，…，m）线性独立，对于问题（1），因为ATA是对称半正定的，其目标函数是一个凸二次函数，而且矩阵的半正定约束也是凸的.因此，式（1）是一个凸二次优化问题.

2 对偶理论

若引入拉格朗日乘子λ∈Rm，μ∈Rh，Z＝ZT∈Rn×n，且μ≥0，Z≥0，则二次半定……