邱志平，林火南

（1.华侨大学数学科学学院，福建泉州362021；2.福建师范大学数学与计算机科学学院，福建福州350007）

布朗单增量“快点”集的Packing维数

邱志平1，林火南2

（1.华侨大学数学科学学院，福建泉州362021；
2.福建师范大学数学与计算机科学学院，福建福州350007）

讨论布朗单样本轨道的重分形分析问题，通过构造一个上极限型分形集的方法，得到其不同的增量形式“快点”集的Packing维数结果.当T＞0，0≤α＜1，ET（α）时，有Dim（ET（α））＝N，Dim（FT（α））＝N，Dim（GT（α））＝N，a.s..当0＜α＜1时，ET（α），FT（α）和GT（α）的Hausdorff维数与其Packing维数不相等.关键词： 布朗单；“快点”集；Packing维数；重分形分析

布朗单作为布朗运动在多指标情形的自然发展形式，在多指标随机过程研究中最具重要性和典型性，已得到了许多结果［1－6］.重分形分析的目的在于更加细腻地量化几何测度的奇异结构.文［4］得到了布朗单的重对数律和一致连续模，文［5－6］在文［4］的基础上更深入地研究了布朗单，讨论那些使其重对数律不成立（即重对数律失败）的所谓“快点”集合的重分形分析性质，得到布朗单沿坐标方向增量、局部增量和矩形增量3种增量形式“快点”集的Hausdorff维数.本文与文［5－6］类似，进一步探讨布朗单样本轨道的重分形分析性质.

1 预备知识

它表示［0，1］N中边长为2－n，且其边平行于坐标轴的左闭右开N维立方体的集合.有时c表示分量同为常数c的向量，即c＝（c，c，…，c）.

其中：B（x，r）表示是以x为圆心，r为半径的球.

显然，φ－p＊（E）不是一个距离外测度，更不是测度［7］.经过修正后，记

则φ－p（E）是一个测度，并称φ－p（E）为E的Packing测度.定义E的Packing维数为

有关Packing测度和Packing维数的有关性质，参见文［7］.

设W＝｛W（s）∶s∈RN＋｝是定义在（Ω，F，P）上的零均值的高斯过程，若满足

2 主要结果及其证明

考虑布朗单沿坐标方向增量“快点”集的Packing维数.

定理1 设T＞0，0≤α＜1，ET（α）的表达式为

由式（2）可得，A⊆E1（α0），记Vn＝∪∞k＝nA0（k）.其中：A0（k）为A（k）的内点集.对于固定m，I∈Mm，由文［9］中的式（2.3），存在正有限常数c1和c，使得当n充分大且k≥n时，有

于是，有

从而由Borel－Cantelli引理，可得P（VnI＝Ø）＝0，因而Vn在［0，1］2内几乎处处稠密且为［0，1］2的开集，由引理1可得

定理得证.

考虑布朗单局部增量“快点”集的Packing维数.

定理2 设T＞0，0≤α＜1，FT（α）的表达式为

则Dim（ET（α））＝N，a.s.

证明 仅对N＝2的情况证明，N＞2的情况类似可证得.设T＝1，α1∈（α0，1），δn＝n2－n（n≥1）.定义一族服从（0－1）分布的随机变量序列｛ZI｝I∈Mn（n≥1）：对于I＝［（i，j）2－n，（i，j）2－n＋〈2－n〉），有ZI＝1，当且仅当

由布朗单的一致连续模结果［4］可知，几乎处处地存在n0＝n0（ω），使得当n≥n0（ω）时，对∀I∈Mn，∀s∈I，有

由式（4）可得，A⊆F1（α0）.记Vn＝∪∞k＝nA0（k），A0（k）为A（k）的内点集.对于固定m，I∈Mm，由文［9］中的式（2.3），存在正有限常数c1和c，使得当n充分大且k≥n时，则有

于是，有

从而由Borel－Cantelli引理，可得P（VnI＝Ø）＝0，因而Vn在［0，1］2内几乎处处稠密且为［0，1］2的开集.由引理得Dim（F1（α0））＝2，a.s.定理得证.

最后，给出布朗单矩形增量“快点”集的Packing维数.

定理3 设T＞0，0≤α＜1，GT（α）的表达式为

则Dim（GT（α））＝N a.s.

证明 由文［6］定理2及引理1即可得.

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［3］ KHOSHNEVISAN D，SHI Z.Brownian sheet and capacity［J］.Ann Probab，1999，27（3）：1135－1159.

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［8］ DEMBO A，PERES Y，ROSEN J，et al.Thick points for spatial Brownian motion：Multifractal analysis of occupation measure［J］.Ann Probab，2000，28（1）：1－35.

［9］ OREY S，TAYLOR S J.How often on a Brownian path does the law of iterated logarithm fail［J］.Proc London Math Soc，1974，28（1）：174－192.

Packing Dimension of“Fast Point”Sets for Brownian Sheet

QIU Zhi－ping1，LIN Huo－nan2
（1.School of Mathematical Sciencs，Huaqiao University，Quanzhou 362021，China 2.College of Mathematics and Computer Science，Fujian Normal University，Fuzhou 350007，China）

The multifractal analysis for the sample paths of Brownian sheet is discussed in the paper.The packing dimensions of“fast point”sets with different increment forms of Brownian sheet are given by constructing a random fractals of limsup type.If T＞0，0≤α＜1，ET（α），then Dim（ET（α））＝N，Dim（FT（α））＝N，Dim（GT（α））＝N，（a.s.）.The Hausdorff dimensions of ET（α），FT（α）and GT（α）isn’t equal to their packing dimensions if 0＜a＜1.

Brownian sheet；“fast point”sets；packing dimension；multifractal analysis

O 552.1

A

（责任编辑：陈志贤 英文审校：张金顺，黄心中）

1000－5013（2011）01－0109－04

2009－02－25

邱志平（1979－），男，讲师，主要从事随机过程理论及应用的研究.E－mail：qzp＠hqu.edu.cn.

华侨大学科研基金资助项目（08HZR20）