张 旭，雷虎民，曾 华，肖增博，叶继坤

(空军工程大学导弹学院，三原 713800)

0 引言

制导律的设计是制导武器实现精确制导的关键技术。许多对地制导武器在命中目标时，不仅希望得到最小的脱靶量，还希望命中目标时弹体姿态最佳，从而使战斗部能够充分发挥最大效能，取得最佳毁伤效果［1－2］。Kim M 等［3］在 1973 年就推导了一种弹道导弹攻击地面目标的带有落角约束的最优制导律，它对有关期望姿态角的弹目几何关系方程进行了线性化，但因非线性弹目几何关系方程是在惯性坐标系中设计的，当导弹以较大的姿态角攻击机动目标时，文中所给出的线性化结果不能保证导弹能有效命中目标。文献［4］设计了一种基于落角约束的全向制导律，但仅对前向攻击和垂直攻击进行了仿真，且导弹发射时的姿态角对落角误差影响很大。文献［5］设计了一种带攻击时间和攻击角度约束的变结构制导律，但其制导律形式过于复杂。文献［6］设计了一种对攻击角度非直接控制的偏置比例制导律，但只能对静止目标表现出优良特性，在攻击机动目标时落角误差很大。

本文给出一种带有落角约束的自适应比例制导律，该制导律通过对导航系数的自适应调整实现对机动目标的有效拦截，与带落角约束的传统比例导引法相比，它不仅可满足终端攻击角约束，而且可实现全向攻击。

1 数学模型与问题描述

1.1 导弹的数学模型

(1)运动学模型［7］

式中 vm、θm、am分别为导弹速度、方向角和法向加速度;xm、ym分别为导弹横向和纵向坐标。

(2)实际模型［8］

其中，阻力模型为

式中 T和D分别为导弹的发动机推力和阻力;D0为零升阻力;Di为诱导阻力;m为导弹质量;g为重力加速度;CD0和K分别为零升力阻力系数和诱导阻力系数;Ar为展弦比;e为效率因子;ρ为大气密度;S为参考面积;Q为来流的动压头。

1.2 导弹-目标的相对运动模型及问题描述

为便于推导证明以说明设计思想，本文考虑拦截平面内的弹目相对运动，如图1所示。

图1 弹目相对运动关系Fig.1 Relative motion geometry of missile and target

图1中，将导弹和目标均视为质点，分别用M和T表示，它们的连线(LOS)为视线;R为弹目距离;q为视线角;vm和vt分别为导弹和目标的速度;θm和θt分别为导弹和目标的方向角;am为导弹法向加速度;θmf为导弹终端攻击角。

传统比例导引法的定义如下:

对式(14)求积分，可得

由图1可知，沿着和垂直于LOS的相对速度分别为

为了拦截到目标，垂直于视线的相对速度vθ应当在末端趋向于零，即

由式(17)、式(18)可得终端视线角qf:

其中，p为目标速度与导弹速度的比值，即

由式(15)和式(20)可得导航系数N的表达式:

由于希望导弹以任意角度命中目标，故攻击角θmf∈［－π，0］。经典比例导引法［9］(N≥3)可以一定的攻击角度准确命中目标，但无法实现对地目标的全向拦截，因此本文提出了一种自适应比例制导律，以期在导弹攻击目标的过程中，通过对N进行自适应调整就可实现对机动目标带落角约束的拦截。

2 带落角约束的自适应比例制导律设计

2.1 基于运动学模型的自适应比例制导律设计

针对上述经典比例导引法无法实现对地目标进行全向拦截的问题，本节提出了自适应比例制导律，如图2所示。在导弹飞行初始阶段，导航系数N是弹目初始几何关系的函数，当导弹到达点2时切换到经典比例导引(N=3)，从而实现对目标的有效拦截。

假设目标在地面上运动，且θt0=0，重写式(21)，可得

对式(22)求解，可得终端方向角θmf，当N→∞时，θmf=θ0+arcsin( －psinθ0)。令 N=3，对式(22)进行简化，可得

由于N→∞仅是一种特殊情况，故有

图2 自适应比例导引示意图Fig.2 Adaptive proportional navigation

由图2可知，在导弹发射时刻，使用比例导引法可获得的攻击角度如阴影1所示;当导弹到达点2后，可获得的攻击角度变为阴影2所示的区域;自适应比例导引的目的就是逐渐把导弹引向点3，这样可获得的攻击角度变为阴影3所示的区域，把所有阴影区域联合起来，就可得 θmf∈［－π，0］，这个结论将在后面的定理中进行证明。

由图2还可知，自适应比例制导律使导弹从点1飞往点3，若导弹转至比例导引(N=3)，则θmf=－π。令 θt=0，θmf= －π，根据式(19)，可得 qf= －π，将该值代入式(21)，可得在点3处的方向角:

令θm=0和q=－2π/3，以便在拦截终端满足式(25)。这样，为了实现对机动目标的拦截，即导弹从(q，θm)=(0，θm0)(见图 2 点 1)到(q，θm)=( －2π/3，0)(见图2点3)，可得导航系数N:

由式(14)和式(26)可得导弹的指令加速度:

根据以上推导，有下列自适应比例导引定理:

定理1:在自适应比例导引弹道上，视线角速率始终小于零，即

根据式(27)，有

式(28)对时间进行积分，可得

对机动目标，令 θt=0，有

将式(29)代入式(30)，可得

在对地攻击过程中，q∈［－2π/3，0］，θm0∈(0，π)，p≤1，将其代入式(31)，可得

把式(32)代入式(31)，可得

定理2:在自适应比例导引弹道上，导弹的终端攻击角可覆盖所有角度，即

式(35)对q求微分，可得

式(37)对q求微分，化简可得

式(29)对q求微分，可得在自适应比例导引弹道上:

将式(39)代入式(38)，可得

根据式(36)和式(40)，可得

在自适应比例导引弹道的初始点(见图2点1)，θ=0，根据式(35)，可得:u2(q=0)=0，它在导弹攻击目标时是最大的可能攻击角，故

在自适应比例导引弹道的终端，有q=－2π/3，θm=0，q和θm在这个点上满足式(37)，因此:

它在导弹攻击目标时是最小的可能攻击角，故

根据式(41)、式(42)、式(44)，可得

由定理1、2可知，对于在区间［－π，0］内的任意角度，在自适应比例导引弹道上都存在一个点使N≥3，从而达到期望的攻击角度。本文给出的自适应比例制导律当满足式(21)的N＜3时，使用式(27)所给出的指令加速度，当N≥3时，N就取值为3。因此本文所提出的自适应比例制导律可归纳如下:

式中 ts是式(θmf－θm)/(qf－q)的值增加至3的时刻，定义为转换时间。

qf由下式给出:

2.2 基于实际模型的自适应比例制导律设计

根据文献［8］所给出的导弹实际模型，在导弹发射后前1.5 s，导弹一直处于自主制导状态，此时N=0;当t=1.5 s时，导弹助推段工作结束，因此式(24)可修正如下:

式中 θmc和qmc分别是助推段结束时导弹的方向角和视线角。

由式(52)可知，在导弹飞行过程中，弹目速度比p不断变化，从而引起qf的不断变化，这样对于实际模型而言，(θmf－θm)/(qf－q)的值会减小甚至小于最小值2(1+p)［10］。因此，在导航系数N的选取上，必须包含其允许最小值。考虑重力因素的影响，修正后的自适应比例制导律如下所示:

3 仿真验证

为体现所给自适应比例制导律的基本性能及其实际应用价值，首先对导弹空-地攻击的运动学模型进行了仿真，并对不同攻击角度进行了对比分析;然后针对垂直俯冲攻击的实际作战情形，对导弹地-地攻击的实际模型进行了仿真分析。仿真中指令更新周期为5 ms，并考虑自动驾驶仪一阶环节为

式中 τ为时间常数;ama为导弹加速度。

3.1 运动学模型

假设空-地导弹攻击机动目标，导弹初始位置为xm=0 m，ym=5 000 m，速度 vm=300 m/s，极限过载为±10g，时间常数 τ=0.2 s;目标初始位置为 xt=5 000 m，yt=0 m，速度 vt=100 m/s，导弹初始发射角为30°，则视线角为 －45°。导弹分别以 qf= －45°、－60°、－90°、－150°的终端约束角进行拦截，目标在地面上做爬坡运动，加速度at=2 m/s2。仿真结果如图3所示，4种情况的脱靶量几乎为0，可忽略不计，拦截角度误差分别为 0.19°、0.01°、0.02°、0.02°。

由图3(a)可知，随着设定的终端攻击角θf(绝对值，下同)的不断增大，弹道轨迹越来越高，尤其当θf＞90°时，导弹必须绕到目标的后方去才能达到预定的攻击角度。因此，θf越大，飞行时间越长，弹道也越弯曲;同时，由图3(a)、(d)可知，当弹目初始几何关系满足时，随着θf的增大，导弹沿着初始弹道飞行的时间就越长，从而导致转换时间ts也不断增大，而当弹目初始几何关系满足时，导航系数缓慢减小，并在命中目标前8 s进行了自适应切换;当导航系数经过ts自适应切换之后，导弹的法向加速度就开始逐渐减小(见图3(c))，并在碰撞点附近保持在零点附近的小范围内，这种过载变化的优点是在导弹末制导前段充分利用自身机动能力，当弹目距离比较接近时过载迅速减小，从而保证了其较高的制导精度。

图3 运动学模型仿真结果Fig.3 Simulation results of kinetics model

3.2 实际模型

假设地-地导弹攻击机动目标，导弹初始位置为xm=0 m，ym=0 m，速度 vm=300 m/s，极限过载为±10 g，时间常数τ=0.2 s;目标初始位置为xt=5 000 m，yt=0 m，速度 vt=100 m/s，导弹初始发射角为 30°，则视线角为0°。考虑角度约束在实战中的应用，令导弹对地面机动目标进行垂直俯冲攻击，即θf=－90°，目标在地面上做爬坡运动，加速度at=2 m/s2。仿真结果如图4所示。脱靶量为0.005 4 m，落角误差为0.03°。

虽然导弹实际模型地-地攻击与常速模型空对地攻击差别比较大，但在制导特性上仍有相似之处。由图4可知，弹道轨迹明显分为拉起段和垂直俯冲攻击段，在拉起段导弹高度不断增大，在达到转换条件之后导航系数进行自适应调整，随后导弹高度开始降低，并进入垂直俯冲攻击段。

导航系数N在助推段为0，之后增大为0.25，当t=16.34 s时，导弹飞行时间大于转换时间，N增加至3，表现出明显的自适应变化特性。当N=3时，导弹法向加速度迅速增大，但并没有达到饱和，之后又逐渐减小，在导弹即将命中目标时接近于零。这使导弹在远离目标时能够充分利用自身的可用过载，而在拦截末端过载接近于零，大大减小了对执行机构的要求。同时，由图4的导弹速度曲线和质量曲线可知，虽然在实际模型下导弹的质量、速度等参数都是时变的，但所设计的自适应比例制导律仍能以极小的落角误差精确命中机动目标，充分表明该制导律可满足实际作战的要求，具有一定的工程应用价值。

图4 实际模型仿真结果Fig.4 Simulation results of actual model

3.3 与带落角约束的传统比例导引法的比较

仿真中目标在地面上做沿着飞行弹道法向的正弦加速机动:at=atmaxsin(πt/4)，其中 atmax=2 m/s2，其他初始条件与3.1节完全相同，则带落角约束的传统比例导引法［9］所能得到的攻击角度为范围为

即 θf∈( －120°，－45°)。仿真结果如表1 表示。

表1 本文方法与传统方法的仿真结果对比Table 1 Comparison between simulation results in methods of this thesis and tradition

由表1可知，基于落角约束的传统比例导引法在其攻击角度范围内尚能以较小的脱靶量命中目标，但它只能针对静止目标表现出较小的落角误差，对于机动目标，所产生的落角误差非常大;在其攻击角度范围之外，当θf=－45°时，N→∞，此时指令加速度趋于无穷，导弹已无法命中目标，当 θf= －150°时，N=1.71 ＜2，此时导弹虽然以很大的脱靶量和落角误差命中目标，但其指令加速度在末端已趋于无穷大。因此，基于落角约束的传统比例导引法既不能实现全向攻击，又不能在其可攻击角度范围内实现对终端攻击角的落角约束。

由表1还可知，基于落角约束的自适应比例制导律不仅可实现全向攻击，而且能够保证较小的脱靶量和落角误差;同时，自适应比例制导律的拦截时间大于传统比例导引法，这是因为其为了实现落角约束，必须把弹道抬高到一定高度，而抬高弹道势必要花费更多的时间，虽然基于落角约束的传统比例导引法弹道相对较低，但它对于机动目标基本上已经失去了落角约束的能力。

4 结束语

本文详细推导了满足终端落角约束的自适应比例制导律。该制导律设计了导航系数的自适应调整函数，与带落角约束的传统比例导引法相比，它不仅可实现对机动目标的全向拦截，而且能够以较小的脱靶量和落角误差精确命中目标;此外，自适应比例制导律还有一个优点，就是它不仅适用于导弹常速模型，而且对导弹实际模型也表现出优良的品质，满足实战要求，具有一定的工程应用价值。由于在制导律的设计及仿真中没有考虑到量测数据中噪声的影响，因此把制导信息获取引入制导律设计将是下一步研究的主要方向。

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