佘卫龙

(中山大学光电材料与技术国家重点实验室，广东 广州 510275)

1873年Maxwell[1]提出了后来以他的名字命名的著名电磁场方程。自那以后，这组方程一直是经典电动力学的基石，是公认的物理学基本规律之一。Maxwell方程被广泛用于解释静电现象，静磁现象；解释电磁波的产生与传播[2]。在处理光的传播、干涉和衍射等问题时，Maxwell方程是一个强有力的工具[3]。此外，Maxwell方程已成为超导体或磁流体唯象理论的重要组成部分[4-6]。现代漂亮矢量形式的Maxwell方程是Heaviside 和 Hertz重新改造过的[2,7]。它包括以下4个微分方程

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这里E,D,B,H,J和ρ分别是电场强度，电位移，磁感应强度，磁场强度，电流密度和净电荷密度。在实际应用中，要由这组方程求解电磁场，电流密度和净电荷密度先要给定。因此，电流密度和净电荷密度在Maxwell方程中所处的地位与电磁场明显不同，它们看起来似乎是先验的。如果所考虑的电磁现象包含有电流，而电流又是必须从理论上确定的，则问题分析需要求助Ohm 定律

J=σE,

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这里σ是材料的电导率。Ohm 定律是一条实验规律，是一条公认的独立于Maxwell方程的物理规律。它已被广泛用于电路工程。尽管Maxwell方程和Ohm定律已取得丰硕的成果，可它们在处理超导问题特别是Meissner 效应和超导电流无损现象时却暴露出内在的极限性。如所周知，Meissner 效应不能用Maxwell方程和Ohm 定律进行解释[4]。超导电流无损耗意味着该电流不产生Joule热。这给Ohm定律带来很大的麻烦。有一种模型，它将超导体看成是电导率为无穷大的理想导体。 但是，无穷大的电导率在物理上理解是有困难的。因为外加磁场要穿进理想导体需耗费无穷长的时间，那怕穿进去的只是一个薄层[4]。Meissner 效应实验否定这一点。当然，为了克服这一困难，人们可以求助于London 或Ginzburg-Landau 理论[4-5]。 这样可以避免应用Ohm 定律。然而，London方程和 Ginzburg-Landau不是Maxwell方程的自然要求，它们是为了解释超导现象而另外引进的。

我们从电荷守恒定律出发，利用微分几何方法并参照Maxwell方程, 导出一组推广的电磁场方程(或称之为推广的Maxwell方程)。这组方程适用于各向同性介质。它们包含了Maxwell方程而又能避免上述Maxwell方程所遇到的困难。这里不讨论具体推导过程，我们直接给出结果。具体如下：

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方程中 c 是真空中光速;μr和εr分别是相对磁导率和相对介电常数；α=α(r,t), 是一个依赖于空间坐标和时间的参数。 方程 (8) 和 (9) 正是Maxwell方程(2) 和 (3)。而 方程 (6) 和(7) 则由以下4个方程导出

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读者很容易从方程(6)和(7)直接导出Maxwell方程 (1) 和(4)，但是我们必须给方程(6)和(7)加上一个约束条件：当J=0但B≠0, 或J和都为零但E≠0时，α→∞。 实际上，这是方程 (6)-(13) 的内在要求。对ρ=0,E=0但J≠0, 或J=0,B=0但ρ≠0这两种特殊情况，α不为无穷大。

推广的Maxwell方程不仅适用于超导态，而且适用于正常态。如上文提到，Ohm 定律是一条实验规律，是一条公认的独立于Maxwell方程的物理规律。我们发现，它可从这组方程导出。与Ohm 定律紧密相联系的是Joule定律。Joule热(功率)公式是Q=I2R，此处I是电流强度，R是Ohm 电阻。此公式告诉我们，Joule热(功率)正比于Ohm 电阻。因此，过去人们总是将Joule热归因于Ohm电阻。可是我们发现，在Ohm 电阻背后，导致Joule热的还有其它物理因素。由推广的Maxwell方程，对电子导电的非磁性导体，我们得到另一个Joule热(功率密度)公式

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致谢作者感谢陈兵龙教授在微分几何方面的有益讨论。

参考文献：

[1]MAXWELL J C.A treatise on electricity and magnetism [M].The Clarendon Press, 1873.

[2]SOMMERFELF A.Electrodynamics [M].New York: Academic Press Inc., Publishers, 1952.

[3]BORN M,WOLF E.Principle of optics: Electromagnetic theory of propagation, interference and diffraction of light(Vols.I and II) [M].5th Ed.Oxford: Pergamon Press, 1975.

[4]SCHMIDT V V.The physics of superconductors: Introduction to fundamentals and applications (Eds.Müller P and Ustinov A V) [M].New York: Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1977.

[5]PARKS R D (Ed.).Superconductivity (Vols.I and II) [M].New York: Marcel Dekker, Inc, 1969.

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[7]HEAVISIDE O.Electrical Papers (Vol.I) [M].New York: Macmillan and Co, 1892.

[8]LONDON F,LONDON H.The electromagnetic equations of the supraconductor [J].Proc R Soc Lond A, 149, 1935, 71-88.

[9]COOPER L N.Bound electron pairs in a degenerate Fermi gas [J].Phys Rev，1956, 104: 1189-1190.

[10]BARDEEN J, COOPER L N, Schrieffer J R.Theory of superconductivity [J].Phys Rev, 1957, 108:1175-1204.

[11]OTT H R.p-wave superconductivity in Ube13[J].Phys Rev Lett, 1984, 52:1915-1918.

[12]KOTLIAR G.Resonating valence bonds and d-wave superconductivity [J].Phys Rev B, 1988, 37: 3664-3666.

[13]WON H,MAKI K.d-wave superconductor as a model of high-Tcsuperconductors [J].Phys Rev B, 1994, 49:1397-1402.